NC = Pの結果？

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Complexity Zooは、EXPのエントリで、L = Pの場合、PSPACE = EXP であると指摘しています。SavitchによるNPSPACE = PSPACEであるため、基礎となるパディング引数はを示すように拡張されていると言えまた、Ruzzoのリソースに制限された交互階層を介して、L NL NC Pであることもわかっています。

(NL = P) \Rightarrow (PSPACE = EXP) .

$(\text{NL} = \text{P}) \Rightarrow (\text{PSPACE} = \text{EXP}).$

\subseteq

$\subseteq$

\subseteq

$\subseteq$

\subseteq

$\subseteq$

NC = Pの場合、PSPACE = EXPに従いますか？

リチャード・リプトンの精神での質問の異なる解釈：指数時間手順が多項式空間以上を必要とすることよりも、Pのいくつかの問題を並列化できない可能性が高いのでしょうか？

また、NC = Pのその他の「驚くべき」結果にも興味があります（可能性が低いほど良い）。

編集：ライアンの答えは、さらに質問につながる：PSPACE = EXPを保証することが知られている最も弱い仮説は何ですか？

W.サビッチ。非決定性テープと決定性テープの複雑性の関係、Journal of Computer and System Sciences 4（2）：177-192、1970。
WL Ruzzo。均一な回路の複雑さについて、Journal of Computer and System Sciences 22（3）：365-383、1971。

編集（2014）：古いZooリンクを更新し、他のすべてのクラスのリンクを追加しました。

cc.complexity-theory conditional-results

— アンドラス・サラモン
ソース

1

NCが何であるかを知らないのは私だけではないと確信しているため、ここにリンクがあります：en.wikipedia.org/wiki/NC_%28complexity%29

— エミール

@Andras：その多分あなたが既に知っているもう一つの結果として、まだ言及されていない、ある

N C

$\mathsf{NC}$ ため、階層は、崩壊してしまう

P

$\mathsf{P}$ 下の完全な問題を抱えている

L

$\mathsf{L}$ -reductions。

— ジョシュアグロチョフ

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はい。は、スペースと時間を使用するチューリングマシンを交互に認識することで認識される言語のクラスとことができます。（これはRuzzoによって最初に証明されました。）は、交互のチューリングマシンがスペースを使用するクラスですが、最大時間かかる場合があります。簡潔にするために、これらのクラスを $NC$ $O(\log n)$ $(\log n)^{O(1)}$ $P$ $O(\log n)$ $n^{O(1)}$ 及び。 $ATISP[(\log n)^{O(1)},\log n] = NC$ $ASPACE[O(\log n)] = P$

2つのクラスが等しいと仮定します。上記のをに置き換える（つまり、標準翻訳補題を適用する）と、 $n$ $2^n$

。 $TIME[2^{O(n)}] = ASPACE[O(n)] = ATISP[n^{O(1)}, n] \subseteq ATIME[n^{O(1)}] = PSPACE$

もし次いでも、あるので -complete言語で。 $TIME[2^{O(n)}] \subseteq PSPACE$ $EXP = PSPACE$ $EXP$ $TIME[2^{O(n)}]$

編集：上記の答えはおそらくもっと教育的ではあるが、ここでは単純な引数です：、すでに「から次の標準翻訳polylog空間に収容されています」。 $EXP = PSPACE$ $P$ 「はポリログ空間に含まれています」はよりもはるかに弱い仮説です。 $P$ $NC = P$

詳細：回路ファミリには一定の深さがあるため、このような回路ファミリはすべて空間で評価できます。従って。そう意味 $NC$ $(\log n)^c$ $O((\log n)^c)$ $NC \subseteq \bigcup_{c > 0} SPACE[(\log n)^c]$ $P = NC$ 。（交換翻訳適用で）を意味。完全言語が存在すると、議論は終わります。 $P \subseteq \bigcup_{c > 0} SPACE[(\log n)^c]$ $n$ $2^n$ $TIME[2^{O(n)}] \subseteq PSPACE$ $EXP$ $TIME[2^{O(n)}]$

アップデート： Andreasの追加質問への対処、私は何かを証明することができるはずと信じて：すべてのためのIFF 、内のすべての多項式まばらな言語時間が解けるですポリログ空間。（多項式的にスパースであることは、すべてのに対して、言語に長さ文字列が最大存在することを意味します $EXP=PSPACE$ $c$ $n^{O(\log^c n)}$ $poly(n)$ $n$ $n$ 。）trueの場合、証明はおそらくHartmanis、Immermanの線に沿って行く、とすることをSewelsonの証拠でしょう内のすべての多項式まばらな言語IFF 中に含まれる。（注：ポリログ空間での時間はを暗示するのに十分です。） $NE = E$ $NP$ $P$ $n^{O(\log^c n)}$ $PSPACE=EXP$

— ライアン・ウィリアムズ
ソース

1

いい答えをありがとう。デクスター・コズンの計算理論は：69ページRuzzoのクラスのための素晴らしい「均一」表記有する

境界領域、

バウンド時、および

境界交番を。次いで、

、一方

S T A (f, g, h)

$STA(f,g,h)$

f

$f$

g

$g$

h

$h$

NC = S T A (\log n, *, (\log n)^{O (1)})

$\text{NC} = STA(\log n, {*}, (\log n)^{O(1)})$

これは実際に構造を強調しています。

P = S T A (\log n, *, *)

$\text{P} = STA(\log n, {*}, {*})$

— アンドラスサラモン

1

上記で

と言っていることに注意してください。しかし、これらは同じだと思います。多項式時間及びかかる機械

スペースだけ行う

交替のみ取る別交流機に変えることができる

N C = S T A (\log n, (\log n)^{O (1)}, *)

$NC = STA(\log n, (\log n)^{O(1)}, *)$

O (\log n)

$O(\log n)$

(\log n)^{O (1)}

$(\log n)^{O(1)}$

時間と

スペース。（他の方向は明らかです。）アイデアは、各多項式時間の実在相と普遍相が

時間と

空間のみで実行されるように「高速化」されるように、より多くの交替を挿入することです、サビッチの定理に沿って。

(\log n)^{O (1)}

$(\log n)^{O(1)}$

O (\log n)

$O(\log n)$

(\log n)^{O (1)}

$(\log n)^{O(1)}$

O (\log n)

$O(\log n)$

— ライアンウィリアムズ

6

必要なのは、「\ NP」のようなものを動物園のエントリに自動的にリンクするグリースモンキースクリプトのようなものです。

— スレシュヴェンカト

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（私はライアンの答えを見ましたが、コメントに収まるには長すぎた別の視点を提供したかっただけです。）

では証明は、すべてあなたがLについて知る必要があることを、非公式に、指数関数によって爆破とき、LがPSPACEになることです。NLについても同じ証明が行われます。これは、NLが指数関数によって爆発したため、PSPACEになるためです。 $L = P \Rightarrow PSPACE = EXP$

同様に、NCが指数関数的に爆発すると、PSPACEが得られます。これを回路の観点から見るのが好きです。NCは、ポリログの深さを持つ多項式サイズの回路のクラスです。爆発すると、これは多項式の深さを持つ指数サイズの回路になります。適切な均一性条件が追加されると、これが正確にPSPACEであることを示すことができます。NCがL均一性で定義されている場合、PSPACE均一性が得られます。

証明は簡単でなければなりません。一方向では、TQBFのようなPSPACE完全問題を取り、指数サイズのANDおよびORゲートを使用して数量詞を表現します。もう一方の方向では、多項式深度回路を再帰的に走査してみてください。スタックサイズは多項式になるため、これはPSPACEで実行できます。

最後に、質問を見たときに（そしてライアンの答えを読む前に）この議論を思いついたので、バグがあるかもしれません。それらを指摘してください。

— ロビン・コタリ
ソース

1

1つの修正：NCには多項式サイズとポリログの深さの回路がありますが、これはまだ変換後の多項式の深さのみです。

— ライアンウィリアムズ

@ライアン：そのとおりです。それを修正します。

— ロビンコタリ

1

ここでは、時空間に制限されたオルタネートチューリングマシンのシミュレーションの観点からもう少し詳しく説明します。

と仮定します。 $P = NC$

以来、、我々は、取得 $NC = ATISP((\log(n))^{O(1)}, O(\log(n)))$

P = A T 私 S P （ （ ログ （ n ） ）^{O （ 1 ）} 、 O （ ログ （ n ） ） ） 。

$P = ATISP((\log(n))^{O(1)}, O(\log(n))).$

ここで、チューリングマシンエンコーディングと長さ入力文字列が与えられ、最大ステップでを受け入れるかどうかを知りたい線形時間ユニバーサルシミュレーション問題を考えます。 $LinU$ $M$ $x$ $n$ $M$ $x$ $n$

私たちは、知っている。したがって、などの定数（十分に大きい）が存在します。 $LinU \in P$ $c$

（ * ） L 私 n うん \in A T 私 S P （ {ログ}^{c} （ n ） 、 c ログ （ n ） ） 。

$(*) \; LinU \in ATISP(\log^c(n), c\log(n)).$

パディング引数（少し注意が必要なコメント）の結果、

（ 1 ） D T 私 M E （ n ） \subseteq A T 私 S P （ {ログ}^{c} （ n ） 、 c ログ （ n ） ） 。

$(1) \; DTIME(n) \subseteq ATISP(\log^c(n), c\log(n)).$

パディング引数を拡張すると、得られます

（ 2 ） D T 私 M E （ n^{k} ） \subseteq A T 私 S P （ k^{c} {ログ}^{c} （ n ） 、 k c ログ （ n ） ） 。

$(2) \; DTIME(n^k) \subseteq ATISP(k^c\log^c(n), kc\log(n)).$

（ 3 ） D T 私 M E （ 2^{n^{k}} ） \subseteq A T 私 S P （ k^{c} n^{k c} 、 k c n^{k} ） 。

$(3) \; DTIME(2^{n^k}) \subseteq ATISP(k^cn^{kc}, kcn^{k}).$

さらに、交互の時空間境界チューリングマシンのシミュレーションに関する既知の結果があります。特に、我々は知っている

A T 私 S P （ {ログ}^{c} （ n ） 、 c ログ （ n ） ） \subseteq D S P A C E （ O （ {ログ}^{c + 1} （ n ） ） ） 。

$ATISP(\log^c(n), c\log(n)) \subseteq DSPACE(O(\log^{c+1}(n))).$

したがって、すべての自然数について（本質的に）次のようになります。 $k$

（ 2^{*} ） D T 私 M E （ n^{k} ） \subseteq D S P A C E （ k^{c + 1} {ログ}^{c + 1} （ n ） ）

$(2^{*}) \; DTIME(n^k) \subseteq DSPACE(k^{c+1}\log^{c+1}(n))$

（ 3^{*} ） D T 私 M E （ 2^{n^{k}} ） \subseteq D S P A C E （ n^{k （ c + 1 ）} ） 。

$(3^{*}) \; DTIME(2^{n^k}) \subseteq DSPACE(n^{k(c+1)}).$

から、ます。 $(3^{*})$ $EXP = PSPACE$

====================思考後===================

その通知に重要であり、意味いくつかの定数。 $P = NC$

A T 私 S P （ （ ログ （ n ） ）^{O （ 1 ）} 、 O （ ログ （ n ） ） ） = A T 私 S P （ {ログ}^{c} （ n ） 、 O （ ログ （ n ） ） ）

$ATISP((\log(n))^{O(1)}, O(\log(n))) = ATISP(\log^c(n), O(\log(n)))$

c

$c$

コメントや修正を歓迎します。:)

— マイケル・ウェハール
ソース

1

N C^{k} ⊊ P S P A C E

$NC^k\subsetneq PSPACE$

k

$k$

N C^{2} ⊊ P S P A C E

$NC^2\subsetneq PSPACE$

N C \neq P S P A C E

$NC\neq PSPACE$

1

N C \neq P S P A C E

$NC\neq PSPACE$

P - u n i f o r m N C^{1} = P S P A C E

$P-uniform NC^1=PSPACE$

1

N C = A T I S P ((\log (n))^{O (1)}, O (\log (n)))

$NC = ATISP((\log(n))^{O(1)}, O(\log(n)))$

1

@ターボフォローアップありがとうございます!! 370ページの下部にある定義は、sciencedirect.com

— Michael Wehar

1

N C

$NC$

P

$P$

N C

$NC$