頂点セパレーターの硬度

与えられたグラフについて、分離問題は、除去がGをほぼ等しいサイズの2つの互いに素なグラフに分割する小さなカーディナリティ（または重み）の頂点またはエッジセットが存在するかどうかを尋ねます。これは、削除されたセットが頂点セットの場合は頂点セパレーター問題と呼ばれ、エッジセットの場合はエッジセパレーター問題と呼ばれます。両方の問題は、一般的な重みのないグラフではNP完全です。頂点セパレーターの近似の最もよく知られている硬度は何ですか？PTASは除外されていますか？指示された設定で最もよく知られている硬度の結果は何ですか？$G$$G$

修正：次のリンクと回答は、質問を正しく述べていなかったため、助けにはなりませんでした。私の質問は、レイトン・ラオの次の定理に関連しています。

定理：グラフが与えられると、多項式時間アルゴリズムが存在するとセットW ⊆ Vを見つけ、$G(V,E)$$W \subseteq V$頂点セパレータS⊆VのWにおけるGサイズのO（wは。ログN）、Wは最小サイズである$\frac{2}{3}$$S \subseteq V$$W$$G$$O(w.{\log}n)$$w$の-vertexセパレータWにおけるG。$\frac{1}{2}$$W$$G$

グラフ所与とセットW ⊆ V、Iは見つけたいδ -vertexセパレータ（ここで、$G(V,E)$$W \subseteq V$$\delta$一定）サイズのW、Wが最小サイズである$\frac{1}{2} \leq \delta \leq 1$$w$$w$の-vertexセパレータWにおけるG。この問題の最もよく知られている硬度は何ですか？上記の定理は、この問題のO（logn）近似を与えます。$\frac{1}{2}$$W$$G$$O({\log}n)$

$|V|/2$

$O(\log n)$

Krauthgamer、Naor、およびSchwartzによる二分割幅の一般化に関するこの最近の論文には、この問題に関する既知の作業（最もスパースなカット、拡散メトリック、さらにはユニークなゲーム推測に関連する）の​​良いレビューがあります。

$O(\sqrt{\log n})$$O(\log n)$レイトンとラオの 彼らはエッジケースのためにこれをしました。Agrawal-Charikar-Makarychev-Makarychevは、結果を使用して、有向スパースカットの同様の範囲を取得しました（頂点の2分割カットに関心がある場合）。Feige-Hajiaghayi-Leeは、同時に頂点セパレーターについてもARVを介して同様の境界を取得しました（また、ツリー幅は同じ係数内で近似できることも指摘しました）。Chuzhoy-Khannaが不均一な場合に硬さの結果を示した有向グラフには、まばらなカットという別の概念があることに注意する必要がありますが、均一な場合についてはわかりません。超一定の硬度の結果は、UGCでの（均一な）スパースカットで知られていると思いますが、わかりません。