時間の構成可能性の同等の定義

長さすべての入力で最大でステップになる決定論的マルチテープチューリングマシンが存在し、各入力が存在する場合、関数 $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ は時間構成可能と言います長さその上 exacltlyなる工程。 $M$ $n$ $f(n)$ $n$ $n$ $M$ $f(n)$

関数は、長さすべての入力で正確にステップになる決定論的なマルチテープチューリングマシンが存在する場合、完全に時間構築可能です。。 $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ $M$ $n$ $f(n)$

Q1：時間的に構築可能で、完全に時間的に構築できない関数はありますか？

場合、答えはイエスです（この答えを参照）。「はい」の条件を強化できますか？「はい」を証明できますか？ $EXP-TIME \neq NEXP-TIME$ $P\neq NP$

Q2：定義で2テープチューリングマシンのみを許可する場合、（完全に）時間で構成可能な関数のクラスは変わりますか？

Q3：すてきな関数がすべて完全に時間構成可能であると信じる「証明可能な」理由は何ですか？

論文
小林小次郎：関数の時間構成可能性の証明について。理論。計算します。科学 35：215-225（1985）
Q3に部分的に回答しています。それの部分的な要約とアップグレードは、この答えにあります。回答どおりQ3を取ります。

歴史的に、リアルタイムでカウント可能な関数の概念は、（完全に）時間で構築可能なものの代わりに使用されていました。詳細については、この質問をご覧ください。

cc.complexity-theory time-complexity terminology

— デビッドG
ソース

好奇心-これらの定義の参照先を教えていただけますか？私は構築可能な関数に精通しておらず、これらの定義をオンラインで見つけることができません（例えば、ウィキペディアのものと同等であるかどうかもわかりません）。

— -usul

@usul参照：JE Hopcroft、JD Ullman。オートマトン理論、言語、計算の紹介。コンピュータサイエンス、1979年にアディソン・ウェズリーシリーズと同じ定義をここで見つけることができます：cse.ohio-state.edu/~gurari/theory-bk/theory-bk-fivese2.html

— デヴィッド・G

最後の数日間、私は（完全に）時間で構成可能な関数について多くのことを考え、Q1とQ3に答えることで見つけたものを紹介します。Q2は難しすぎるようです。

Q3：

彼の記事で小林（参照が問題である）関数ことが証明された、そこに存在するために ST 、そのときに限り、完全に時間構成可能であるが時間で計算可能。（入力または出力が単項/バイナリであるかどうかは無関係であることに注意してください。これらの2つの表現を線形時間で変換できるからです）。これにより、次の関数が完全に時間構築可能になります：、 $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ $\epsilon>0$ $f(n)\geq (1+\epsilon)n$ $O(f(n))$ $2^n$ 、、、すべての多項式を超える番目のより遅い成長、いくつかの機能のための...小林も証明した、完全に時間-constructibilityのように、のため ... $2^{2^n}$ $n!$ $n\lfloor \log n \rfloor$ $p$ $\mathbb{N}$ $p(n)\geq (1+\epsilon)n$ $(1+\epsilon)n$ $n+\lfloor\lfloor\log n\rfloor^q\rfloor$ $q\in\mathbb{Q}^+$

完全に時間構成可能な機能の例を続行するためには、場合に証明することができと、次いで、完全に時間構成可能である、、及びでありますまた、完全に時間構成可能です（後者は、小林の定理3.1から直接続きます）。これにより、多くの優れた機能が実際に完全に時間構成可能であることを完全に納得させます。 $f_1$ $f_2$ $f_1+f_2$ $f_1f_2$ $f_1^{f_2}$ $f_1\circ f_2$

小林（すてき）関数の完全時間constructibilityを証明する方法を見ていないことは驚くべきことである（と私は行いませんどちらも）。 $\lfloor n\log n\rfloor$

私たちはまた、より精細コメントしてみましょうウィキペディアの記事を：関数チューリングマシンが存在する場合、時間が構成可能である列与えられ、、出力で時間が。 $f$ $M$ $1^n$ $f(n)$ $O(f(n))$ この定義は、関数の完全な時間構築性の定義と同等であることがわかります。 $f(n)\geq (1+\epsilon)n$

Q1：

この質問には本当に興味深い答えがあります。すべての時間構成可能な関数が完全に時間構成可能な場合、と主張します。それを証明するために、私たちは、任意の問題を見てみましょう、。次いで、存在する、ST $EXP-TIME=NEXP-TIME$ $L\in NEXP-TIME$ $L\subseteq\{0,1\}^*$ $k\in\mathbb{N}$ $L$ NDTM によりステップで解決できます。簡単にするために、各ステップで最大2つの異なる状態になると仮定できます。今関数定義 $M$ $2^{n^k-1}$ $M$

f (n) = {\begin{cases} 8 n + 2 & if (first ⌊ \sqrt[k]{⌊ \log n ⌋ + 1} ⌋ bits of b i n (n)) \in L \\ 8 n + 1 & else \end{cases}

$f(n)=\left\{\begin{array}{ll} 8n+2 & \mbox{if }\left(\mbox{first } \lfloor\sqrt[k]{\lfloor\log n\rfloor+1}\rfloor\mbox{ bits of } bin(n)\right)\in L\\ 8n+1 & \mbox{else} \end{array} \right.$

私は、が時間あると主張します。次の決定論的チューリングマシン考えます。 $f$ $T$

入力上のの長さは計算 $w$ $n$ で時間 $\left(\textrm{first }\lfloor\sqrt[k]{\lfloor\log n\rfloor+1}\rfloor\textrm{ bits of }bin(n)\right)$ $O(n)$
次に、これらのビットでをシミュレートします。ここで、のビットは、どの（以前は非決定的）選択肢を選択するかを決定します。 $M$ $w$
iffを。 $\left(M\textrm{ accepts using choices given by }w\right)$

音符の長さはその（）それがあるため、すべての非決定的選択を決定することは十分であるの入力に $w$ $=n$ $M$ 高々なるステップを。 $\left(\textrm{first }\lfloor\sqrt[k]{\lfloor\log n\rfloor+1}\rfloor\textrm{ bits of }bin(n)\right)$ $n$

我々は作ることができるせいぜいランをステップ。次のチューリングマシンは、が時間構成可能であることを証明します。 $T$ $8n+1$ $f$

入力上のの長さの実行そのexaclyように並列にステップをカウントステップが行われます。 $w$ $n$ $T$ $8n$
場合拒否されたり、次のステップで拒否し、次のステップで停止状態になります。それ以外の場合は、もう1ステップ進み、停止状態になります。 $T$

ここで、が完全に時間構成可能であると仮定します。これがつながることを証明します。 $f$ $EXP-TIME=NEXP-TIME$

次のアルゴリズムは解きます。 $L$

入力で、をバイナリ表現（ゼロ）の数とします。その次 $x$ $n$ $x00\ldots 0$ $|x|^{k-1}$ 。 $x=\left(\textrm{first }\lfloor\sqrt[k]{\lfloor\log n\rfloor+1}\rfloor\textrm{ bits of }bin(n)\right)$
計算時間でと、それが2で割り切れるかどうかをチェックします。 $f(n)$ $f(n)$

このアルゴリズムは指数時間で実行され、を解きます。以来、、任意た。 $L$ $L\in NEXP-TIME$ $EXP-TIME=NEXP-TIME$

— デビッドG
ソース

非常に素晴らしい！[コメントボックスを幸せにするためのパディング]

— エミールイェジャベクはモニカをサポートします

質問Q1への回答で提示されたものと非常に類似したアイデアもここで使用されます。

— デビッドG