TCSの古典数学への応用？

TCSでは、古典数学（代数、トポロジー、解析、幾何学など）からの強力な結果とアイデアを使用することがよくあります。

逆になった場合の例は何ですか？

ここに私が知っているものがあります（また、私が尋ねている結果の種類の風味を与えるために）：

• キュービカルフォーム（Guy Kindler、Ryan O'Donnell、Anup Rao、Avi Wigderson：Spherical Cubes and Rounding in High Dimensions、FOCS 2008）
• 幾何学的複雑性理論プログラム。（これは技術的には代数幾何学と表現理論のTCSへの応用ですが、P対NPの追求において新しい量子群と新しい純粋な代数幾何学と表現理論のアイデアを導入するように導かれました。）
• 近似アルゴリズムと近似不可能な結果に触発されたメトリック埋め込みの作業

私は特に、TCSの論理への適用（有限モデル理論、証明理論など）を特に探していません。特に驚かない限り、TCSと論理の関係は、この質問の目的にとっては近すぎて標準的かつ歴史的です。

エキスパンダーはTCSで大幅に開発され、数学との深いつながりと応用があります。

Dvirの有限体カケヤ予想の証明があります。

私が知っているキュートな例では「と題したマイケル・フリードマンの紙である数学的公理として複雑クラスの意味合い与え」 3次元多様体のトポロジーの分野で。$P^{\sharp P}\neq NP$

不変性の原則は近似の難しさから動機付けられましたが、有用な分析定理です。原理：各変数の影響が小さい低次関数は、入力が独立したランダム変数であるか、（対応する）ガウス確率変数であるかに関係なく、ほぼ同じように動作します。これは中心極限定理の一般化です。そこでは、関数は変数の平均です。

影響の少ない関数のノイズ安定性：不変性と最適性 E.モスセル、R。オドネル、K。オレシキエヴィチ。Annals of Mathematics 171（1）、pp。295-341（2010）。FOCS '05。

低次のテスト定理はPCPアプリケーションによって動機付けられましたが、興味深い代数定理です。原理：有限体F上の変量関数は、平均でF nの線上でハミング距離が線上の低次多項式に近く、ハミング距離で低次多項式に近いF n全体。$n$$F$$F^n$$F^n$

特定の空間での低次多項式へのハミング距離の近さは、関数が空間の無視できない部分の低次多項式で識別することを意味します。

改善された低度テストとその応用。S.アローラとM.スーダン。ACM STOC 1997で。

Sub-Constant Error-Probability Low Degree Test、およびSub-Constant Error-Probability PCP特徴付けof NP、R.Raz、S.Safra、Proceeding of the 29th STOC、1997、pp.475-484

私は偏見がありますが、TCSからのさまざまなアイデアが、ガウアーの規範の逆推測の進歩に貢献したと言ってもいいと思います。たとえば、グリーンとタオの論文を参照してください。

計算可能性理論はTCSの一部ですか？もしそうなら、Csimaで得た結果の応用を説明するBob Soareによる計算可能性理論と微分幾何学がその例です。

リンクが表示されない理由がわからない....ここ：http : //www.people.cs.uchicago.edu/~soare/res/Geometry/geom.pdf

エクストラクタは別の場所です。たとえば、Barak-Kindler-Shaltiel-Sudakov-Wigderson'04の論文は、（とりわけ）ラムゼイグラフの構造の改善（離散数学でしばらくの間開かれていた問題）を提供します。

De WolfとDruckerは、量子クエリの複雑さと多項式による対称関数のϵ近似との驚くべき関係についての量子証明に関する調査で言及しています。$\epsilon$

ジグザグエキスパンダーの建設を参照、一定の予想外の特性を持つグループの様々な興味深い例を構築するために使用したMeshulam-Wigdersonを、Rozenman-Shalev-Wigderson。コンストラクション自体は、純粋な数学の観点から非常に興味深いものです。これは、以前のコンストラクションとはまったく異なるツール（エントロピーを扱うCSの視点に動機付け）を使用してエキスパンダーを構築したためです。（ただし、おそらく最も有名なアプリケーションは、TCS- Reingoldの無向接続のためのログスペースアルゴリズム内にあります。）

さらにいくつかのアプリケーションについて言及させてください。

おそらく、純粋な数学に対するTCSの最も重要な貢献は、還元の技術です。計算の複雑さやその他の場所でTCSが使用する形式の削減は、数学の他の分野と比較してTCSでより発展した数学的パラダイム/ツールを表します。

確率的証明の概念：ここでは、確率論的手法（数学に根ざしているがCSに多くの応用がある）ではなく、特定の数を主張する声明のような数学的声明が素数であるという事実に言及している「合理的な疑いを超えて」証拠を与えられます。これは、CSから始まる概念的なブレークスルーですが、数学の実践方法にはまだ多くのアプリケーションがありませんでした。

MoserのLovasz Local Lemmaの建設的な証明は、コンピューターサイエンスのアイデアを使用して、Lovasz Localの補題の新しい証明を提供し、人々がかなり長い間考えてきた問題を解決します。

バトソン-Spielman-Srivastava氏バリア機能方法は、幾何学と機能解析へのアプリケーションの数を持っていたコンピュータサイエンスに生じた、と悲観的な推定方法を彷彿とさせるポテンシャル関数の引数、非常にオリジナルの形でました。さらに、ランダム行列の特性多項式を分析するのは扱いにくいという従来の知識に反し、代わりに行列のモーメントを調べる方が良いとされています。

バリア関数法は、最初に、スペクトル特性を保持するグラフのスパーシファイアーの存在（および決定論的多項式時間での構成）を証明するために開発されました。このようなスパーシファイアは、アルゴリズムアプリケーションによって動機付けられました。基本的にカットを計算する必要があるアルゴリズムは、元の入力のスパース化バージョンを入力として指定することで高速化できます。

$\ell_1^n$

2013年に早送りし、機能解析における最も悪名高い問題の1つであるKadison-Singer問題を解決するために、Marcus、Srivastava、およびSpielmanにより、ステロイドのバリア関数法が、インターレース多項式の機械で強化され、使用されました。この問題は、数理物理学の基本的な問題から生じますが、さらに先へと進みます- 数学全体の多くの問題に相当することが知られています。言うまでもなく、多くのアナリスト（KadisonとSingerを含む）は、問題が肯定的な解決策であるとさえ考えていませんでした（Cassaza等による引用された調査は、可能な反例について推測しています）。

頭に浮かぶ1つの例は、Higmanの埋め込み定理であり、グループ理論の結果です。

Higmanの埋め込み定理：グループGは、Gが有限に提示されたグループのサブグループである場合に限り、再帰的提示により有限に生成されます。

（同値の左部分には計算要素があり、右には純粋に群論的であることに注意してください）。

ランダム性の意味、「ランダムシーケンス」として説明されるもの、および関連する質問は、数世紀の数学、確率論、および統計において重要でした。理論的コンピューターサイエンス（および複雑性理論）は、ランダム性を理解するための非常に堅牢で深い説得力のある洞察を提供します。

確率論的方法は数学で始まりましたが、重要な数学的概念であるデランダム化は主にCSで開発されています。

これは、モリッツの答えに関連しています。

オートマトン理論と代数性

オートマトン理論は、代数性を特徴付ける興味深い結果をもたらしました。そのうちの2つに言及します。決して網羅的ではありません。

1.の代数的閉包$\mathbb F_q(t)$

$\mathbb F_q(t)$$q$$q=p^s$$p$$s$$\mathbb F_q[[t]]$$\mathbb F_q$

$\mathbb F_q(t)$$\mathbb F_q(t)$

$\sum_{i=0}^{\infty} a_i t^i$$\mathbb F_q(t)$$\{a_i\}_{i=0}^\infty$$p$

$\mathbb F_q(t)$

$\sum_{i\in I} a_i t^i$$\mathbb F_q(t)$$\{a_i\}_{i\in I}$$p$

2.超越数

自動シーケンスは、超越数を特徴付けるためにも使用されます。例えば、

$b$$\ge 2$$x\in\mathbb R$$\mathbf x=\{x_i\}_{i=0}^\infty$$b$

1. $\mathbf x$$x$
2. $\mathbf x$$b$$x$
3. $x$

もちろん、最初の項目は非常に古典的な結果です！

参照。

[1]ジル・クリストル。アンサンブルpresquepériodiquesk-reconnaissables。In Theoretical Computer Science 9（1）、pp 141-145、1979。

[2]キランS.ケドラヤ。関数フィールドの有限オートマトンと代数拡張。ではジャーナル・デ・théorieデnombresボルドー 18頁379から420まで、2006年arXivの：数学/ 0410375。

[3] Boris Adamcweski、Yann Bugeaud。代数的数の複雑さについてI.整数基数の展開。数学年報 165（2）、547から565頁、2007年

$L$$\tau$

$L$

$\tau$$p$$\tau$$(1+\tau)^c$$c$

私見TCSは数学の一分野であり、私はそれをもう少し広くしたいと思います。私たちはアルゴリズムの時代に住んでおり、ほぼすべての人が、すべての人間の活動において、アルゴリズム、主にヒューリスティックを発明/再発明しています。ただし、これらのアルゴリズムの一部は優れています。2.深い数学的質問に対する回答を含む（埋める）。3.専門的な数学的分析/改善/注意を待ちます。私の個人的な経験：1つの物理学/機械学習のヒューリスティック、つまり証明技法としてのBethe近似の驚くべき力。主な問題は、この種の起こりうる出会いは主に業界で起こり、そこでは誰も製品に関係しない洞察/啓示を気にしないということです。