ランダム性がアルゴリズムよりも削減に強い影響を与えるのはなぜですか？

ランダム性は多項式時間アルゴリズムの能力を拡張しない、つまりが成り立つと推測されます。一方、ランダム性は、多項式時間の短縮に対してまったく異なる効果があるようです。ValiantとVaziraniのよく知られた結果により、はランダム化された多項式時間の削減により削減されます。を生成するため、削減がランダム化解除される可能性は低いと考えられますが、これは考えられないことです。 S A T U S A T N P = U ${\bf P}={\bf BPP}$$SAT$$USAT$${\bf NP}={\bf UP}$

この非対称な状況の理由は何でしょうか：確率的多項式時間アルゴリズムでは、ランダム化の解除はかなり可能に思えますが、確率的多項式時間の削減ではそうではないでしょうか？

最初に、Valiant-Vazirani削減の具体的なケースについてコメントさせてください。これは、一般的な状況を明確にするのに役立つと思います。

Valiant-Vaziraniの削減は、いくつかの方法で表示/定義できます。この減少は、満足できるブール式マッピングするために「しよう」される一意充足にF "、および充足不能Fを充足するF "。すべての出力式は常にFをさらに制限することで取得されるため、不満足は常に維持されます。削減を定義することができるいずれかの単一出力としてFを"、またはのリストを出力としてF " 1、... 、F " トンを。後者の場合場合は、「成功」F $F$$F'$$F$$F'$$F$$F'$$F'_1, \ldots, F'_t$は、リストに少なくとも1つの一意に満たすことができる F ' iがあると定義されます。これらの2つのバリアントをそれぞれ「シングルトン削減」と「リスト削減」と呼びます（これは標準的な用語ではありません）。$F \in SAT$$F'_i$

最初に注意すべき重要な点は、シングルトン削減の成功確率が非常に小さいことです。つまり、で、nは変数の数です。この成功確率を改善することの難しさは、論文で検討されています$\Theta(1/n)$$n$

「Valiant-Vaziraniの分離確率は改善可能ですか？」デルらによる

http://eccc.hpi-web.de/report/2011/151/#revision1

リストの減少で、成功確率は大きくすることができ、ポリで、言う（N ） -sizedリスト。（たとえば、シングルトン簡約を何度も繰り返すことができます。）$1 - 2^{-n}$$(n)$

さて、成功確率がしかない削減を直接デランダム化できることは、まったく明白でも直観的でもありません。確かに、硬度対ランダム性の結果はどれも、この場合にそうすることができる仮説を与えません。リストの縮小は、ランダム化を解除できる可能性がはるかに高くなります（多少大きいリストを使用）。ただし、これはN P = U Pを意味しないことに注意してください：式の出力リストには、多くの一意に満足できる式があり、おそらく多くの満足のいく割り当てが含まれている場合があり、そのようなaリスト。 $1/n$$NP = UP$

我々は何とか満足できるここでリスト化与える可能性があっても常にリスト誘発F " 1、... 、F " トンで最ものF " Jさんは一意に充足しているが、その中をオンにする明確な方法はありません分離のための決定論的なシングルトン削減。本当の根本的な難しさは、「一意に満たす式の近似マジョリティ演算」、つまり縮約R （F ′ 1、… 、F ′ t）がわからないこと$F$$F'_1, \ldots, F'_t$$F'_j$$R(F'_1, \ldots, F'_t)$その出力は、ほとんどのが一意に満たされる場合に一意に満たされ、ほとんどのF ' jが満たされない場合に満たされません。これは一般的な現象のようにも思われます：削減は決定アルゴリズムよりも複雑なオブジェクトを出力し、これらのオブジェクトのプロパティは確認するのが難しいため、これらのオブジェクトの多くを多数のプロパティを継承する単一のオブジェクトに結合することは困難です。$F'_j$$F'_j$

ヴァリアント・Vaziraniのケースでは、それも我々が入手することができるだろうというもっともらしいderandomizationの仮定の下でそう思われない確定的で満足できる式に満足できる数式を減らすために、ある、≤ポリ（N ）ソリューション。直感的に、これは、分離手順が、与えられた式Fの解集合の大まかなサイズすらわからないという事実に由来します。$NP = FewP$$\leq$$(n)$$F$

オラクルの世界では、ランダム性が私たちにはるかに力を与える例を与えるのは簡単です。たとえば、平衡ブール関数のゼロを見つける問題を考えてみましょう。ランダム化アルゴリズムは、一定の成功確率でクエリを使用してそれを達成しますが、決定論的アルゴリズムは少なくともn / 2クエリを必要とします。$O(1)$$n/2$

ランダム化が役立つと疑われる別の状況があります。マトロイド制約上の単調なサブモジュラー関数を最大化したいとします。近似を与える2つの異なるアルゴリズムがあり、これはこのモデルではVondrákの結果により最適です。両方のアルゴリズムは、フォームの関数を計算する必要がE X 〜X F （X ）、$1-1/e$$\mathbb{E}_{x \sim X} f(x)$$X$指数関数的サポートのある分布です。この関数を正確に計算するとコストがかかりすぎますが、サンプリングによって概算でき、結果はランダム化されたアルゴリズムになります。対照的に、最もよく知られている決定論的アルゴリズムである欲張りアルゴリズムは、近似を与えます。$1/2$

同様の状況は、制約のないサブモジュラー最大化でも発生します（ここで、関数は必ずしも単調ではありません）。最近の画期的なアルゴリズムは、最適な提供します近似を、その決定論版のみ与えられる1 / 3近似を。ここで、ランダム化は、モノトーンの場合とまったく同じ方法で、または（アルゴリズムの異なるバージョンで）途中でいくつかのランダムな選択を行うことで現れます。$1/2$$1/3$

後者の紙推測の著者の一人はそれを決定論的アルゴリズムが達成できることが最良である、と私たちすることができます同様に推測することを1 / 2は、以前の問題で達成することができる最善の方法です。これらの推測が正しい場合、これはランダム化が確実に役立つ非常に自然な状況です。$1/3$$1/2$

最近、DobzinskiとVondrákは、値oracleの下限（ランダム化されたアルゴリズムの場合）を、RPとは異なるNPを条件とした硬さの結果に変換する方法を示しました（主要な要素はリストのデコードです）。変換は、オラクルの下限を証明するために使用される特定の方法に依存していることに言及する必要があります。おそらく、決定論的価値のオラクルの下限も硬度の結果に変換されるのは事実です。

奇妙に思える理由の1つは、B P PからPへの比較可能なものよりもからU Pへのランダム化された還元の方が明白な（または推測される）パワーがあると思うように見えることです。ランダム性を、追加する「マシン」とは無関係に強力な（または強力ではない）ものと考えようとしました（これらの複雑さのクラスを、マシンモデルから生じるクラスとして戯画化した場合）。$\mathsf{NP}$$\mathsf{UP}$$\mathsf{BPP}$$\mathsf P$

それでも、これらの異なる電力の削減が存在します。実際、ランダム性などの計算リソースは、必ずしも「有意」または「有意ではない」一定の計算能力を持っているわけではありません。

我々は、それ自体のために低い任意の複雑性クラスを考慮することができる-例えば、、P、B P P、B Q Pは、⊕ P、又はP S P A C Eは -種類の機械モデルに従うすべきでマシンには常に明確な状態があり、いつでも質問をすることができます。また、求める質問を超えて計算を続行することもできます。つまり、マシンは、1つのアルゴリズムをサブルーチンとしてシミュレートできます別の。計算を実行するマシンは特に現実的ではない場合があります$\mathsf L$$\mathsf P$$\mathsf{BPP}$$\mathsf{BQP}$$\mathsf{\oplus P}$$\mathsf{PSPACE}$我々は、リソース（上の実用的な制約のために自分自身を制限する場合など  物理的に実現可能と関心の問題のために、低次多項式時間で答えを生成することができる）が、そのようななどとは異なり、クラス -私たちは非決定性機械が作り出すことができるか見当がつかないいますN Pの別の問題への答えであり、（反復）連言的および選言的真理値表の削減以外の方法で答えを使用します。私たちをひどく迷わせないでください。$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$

この位置を取る場合、これらの計算モデルランダム性や非決定性などの追加機能を提供するとどうなるかを尋ねることができます。（これらの追加機能は、特に非決定論の場合、必ずしも機械モデルで解釈できるという特性を保持しませんが、「新しい」クラスを生成します。）この追加機能は、モデルにより多くの力を与え、生成しますクラスCに対して、これは事実上、その機能を使用してCからMへの減少、たとえば  、ランダム性の場合のランダム化された減少があるということと同等です。$\mathsf M$$\mathsf C$$\mathsf C$$\mathsf M$

これを自分自身が低いクラスで説明している理由は、それらが「別の世界での計算の可能なモデル」であると真剣に考えると、ランダム化された還元に関するあなたの質問は、ランダム性のように見えるという事実に対応するためですあるモデルのパワーを劇的に増やしますが、他のモデルのパワーは上げません。

無作為化削減の代わりにへのU P、我々はすべての無作為化の減少があることを観察することができますP HクラスB P ⋅ ⊕ Pあなたに囲まれたエラーのランダム性を追加した場合得られる- ⊕ Pがで-戸田の定理。そして、あなたの質問は次のように提起することができます：なぜこれが起こるのですか？なぜいくつかのマシンはランダム性からそれほど多くを獲得し、他のマシンはそれほど多くを獲得しないのですか？以下の場合にはP H ⊆ B P ⋅ ⊕ Pモジュロ2非決定性は、の定義に伴うものとして、それは思えます$\mathsf{NP}$$\mathsf{UP}$$\mathsf{PH}$$\mathsf{BP\cdot\oplus P}$$\mathsf{\oplus P}$$\mathsf{PH} \subseteq \mathsf{BP\cdot\oplus P}$（本質的に計数数量詞のモジュロ2）私たち実存と普遍数量詞の全体無限階層の等価物を与えるために有界誤差（約束ギャップを有する本質的にカウント数量詞）に伴うランダムを触媒します。しかし、これは我々があるとしていることを意味するものではありません ⊕ Pは約全体多項式階層などの強力なとしての地位である、それはありませんか？有界エラーのランダム性やモジュロ2カウントのリソースは、ほとんどそれほど強力ではないと考えられています。私たちが観察しているのは、これら2つの数量詞が一緒になっていると強力なことです。$\mathsf{\oplus P}$$\mathsf{\oplus P}$

また、非決定性と比較して、絶対的にランダム性が弱いと本当に言えるかどうかという問題もあります：ランダム性が非常に弱い場合、およびであると確信している場合、なぜB PのみをバインドできるのかP ⊆ Σ P 2 ∩ Δ P 2多項式階層で、使用して2つの非決定論のレベルを、単独のものを聞かせて？しかし、これは単なる結果である可能性があります。単純な多項式時間計算に追加されたランダム性はあまり力を与えないと思われますが、関連する種類の非決定性をわずかに使用してその追加力をシミュレートする方法はわかりませんで$\mathsf{BPP} = \mathsf{P}$$\mathsf{BPP} \subseteq \Sigma^{\mathsf p}_2 \cap \Delta^{\mathsf p}_2$及び C O N P。（もちろん、複雑性理論で自明ではないことを証明することは困難ですが、これもまた、これらの異なる種類のリソースを大規模に比較するのは難しいという声明です！）$\mathsf{NP}$$\mathsf{coNP}$

私は、これはこれまでのところ、それは単にことを観察するよりも、他の場合、あるべき理由を守るために与えることができる強い引数ありである場合には、そしてあなたはと思われる場合のことを崩壊しない、異なる⊕ P、およびことをB P P ≈ Pは、その後、あなたは、このようなランダム性と非決定性などの施設が1に簡単に比較できない力を持つことができるという可能性を検討すべきですもう1つは、相互に相乗効果または触媒作用を発揮して、どちらも独自の方法では得られない計算能力を提供します。B P P = Pという仮説$\mathsf{PH}$$\mathsf{\oplus P}$$\mathsf{BPP} \approx \mathsf{P}$$\mathsf{BPP} = \mathsf{P}$「ランダム性には力がない」ということではありませんが、ランダム性だけでは（あるいは、多項式時間計算によってのみ補完され、決定論的な計算モデルに提供される）強力ではありません。しかし、これは、他の計算リソースによって触媒される可能性があるランダム性にパワーがないことを意味しません。