NP完全性/硬度は建設的でなければなりませんか？

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あらゆるあり次のプロパティとは： $L\in {\bf NP}$

それすることが知られている意味。 $L\in {\bf P}$ ${\bf P}={\bf NP}$
（または他の完全な問題）のへの（既知の）多項式時間チューリング還元はありません。 $SAT$ ${\bf NP}$ $L$

以下のための多項式時間アルゴリズム言い換えれば、崩壊意味中に、それは、この「一般的な硬さ」が必要である用の何らかの形である必要があり、たとえば、はに何らかの特定の還元によって還元可能でなければならないという意味で？ $L$ ${\bf NP}$ ${\bf P}$ $L$ ${\bf NP}$ $constructive$ $SAT$ $L$

cc.complexity-theory np-hardness reductions

— アンドラス・ファラゴ
ソース

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タイトルと本文は2つの異なる質問をしているように思えます。たとえば、Kavehの回答は本文の質問には有効ですが、タイトルの質問には有効ではありません。

— ロビンコタリ

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はい、そのようなセットがあり、任意の中間セット（前提とする可能性のある中間セット）を取ります。たとえば、ラドナーの定理を使用してSATから1つを構築します。 $\mathsf{NP}$ $\mathsf{NP}$ $\mathsf{P}\neq\mathsf{NP}$

あなたのことを注意ニーズがあるとみなさそれがでているので、 -中間問題が、それのために完全ではありません。また、であると仮定していることに注意してください。そうでない場合、場合、に対してすべての自明でない問題が完全になるようなはありません。さらに、あなたが与えた条件は完全性を意味しないので、最初の部分の質問は完全性の建設性に関する質問と同じではありません。 $L$ $\mathsf{NP}$ $\mathsf{NP}$ $\mathsf{P}\neq\mathsf{NP}$ $L$ $\mathsf{NP}$ $\mathsf{NP}=\mathsf{P}$

タイトルの質問に関しては、「硬度は建設的でなければならないのですか？」。 $\mathsf{NP}$

答えは、「建設的」という意味によって異なります。古典的に、決定問題は -hard iff と定義されます。 $A$ $\mathsf{NP}$

\forall B \in N P B \leq_{m}^{P} A

$\forall B\in \mathsf{NP} \ B \leq^\mathsf{P}_m A$

つまり

\forall B \in N P \exists f \in F P \forall x \in {0, 1}^{*} (x \in B \leftrightarrow f (x) \in A)

$\forall B\in \mathsf{NP} \ \exists f\in\mathsf{FP} \ \forall x\in\{0,1\}^* \ (x\in B \leftrightarrow f(x)\in A)$

クックの定理により、これは

S A T \leq_{m}^{P} A

$SAT \leq^\mathsf{P}_m A$

つまり

\exists f \in F P \forall x \in {0, 1}^{*} (x \in S A T \leftrightarrow f (x) \in A)

$\exists f\in\mathsf{FP} \ \forall x\in\{0,1\}^* \ (x\in SAT \leftrightarrow f(x)\in A)$

$A$ $f$

古典的には、特定の関数を持っていなくても、関数があります。関数が還元ではないということは不可能であると言うことは、ある関数が還元であると言うことと同等です。建設的なことについて話すには、もっと思いやりが必要です。たとえば、古典的に証明可能であるが建設的には証明できないステートメントについて話すことができます（たとえば、数学的知識の異なる状態が理にかなっている直観主義、「理想的な数学者」のGoogle、またはこれを確認してください）。

直感的に、矛盾による証明を使用して、明示的な簡約関数を与えることなく、そのようなステートメントを証明できることは私にとってもっともらしいようです。しかし、それは声明の建設的な証拠がないことを意味するものではありません。建設的な証明が存在しないということをもっと言えば、より具体的にする必要があります：どの理論/システムの証明？建設的な証明とはどういう意味ですか？

— カベ
ソース

どうして？中間問題のP時間アルゴリズムはP = NPを意味しますか？

— モハマドアルトルコ教会

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N P

$\mathsf{NP}$

P

$\mathsf{P}$

P \neq N P

$\mathsf{P}\neq\mathsf{NP}$

N P

$\mathsf{NP}$

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$k$

「同形」はチューリング削減（実際は著しく弱い）とは異なりますが、これらのセットは直接NP困難であることが示されており、私が知る限りSATの削減はありません。ただし、NP完全性の定義では、2つの間にある程度の削減が必要であるため、これは「既知の」削減の基準を満たしていますが、探しているものとは異なる場合があります。

[1] Joseph、D.およびYoung、P. NPの非多項式および非完全集合の証人関数に関するいくつかの発言。理論計算機科学。vol 39、ページ225--237。1985.エルゼビア。

— サム
ソース

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以下は、タイトルの質問の例です。次の論文から引用されています：Jan Kratochvil、Petr Savicky、およびZsolt Tuza。変数がもう1つ出現すると、充足可能性が自明からnp-completeにジャンプします。SIAM Journal on Computing、22（1）：203–210、1993。

f（k）を最大整数rとし、各変数が最大r回出現するk-SATフォーラムがすべて満たされるようにします。f（k）が計算可能かどうかはわかりませんが、比較的厳密な境界が知られています（H. Gebauer、R。Moser、D。Scheder、およびE. Welzlを参照してください。Lov́asz局所補題と充足可能性。効率的なアルゴリズム、 30〜54ページ、2009年）。

（k、s）-SATは、k-SATが各変数が最大でs回発生するフォーラムに限定される問題です。

Kratochvil等。（k、f（k）+1）-SATがNP完全であることを証明しました。（定義により）（k、f（k））-SAT問題は常に満たされることに注意してください。リダクション自体は非構造的です。リダクションは、f（k）が計算可能であることが知られていない場合でも、各変数が最大でf（k）+1回発生する式を出力することに注意してください。主な非構成的アイデアは、値f（k）が不明であっても、（k、f（k）+1）-SATの式が存在し、それが不満足であり、必要に応じてその式を操作することです。。

— またはサッサス
ソース

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k

$k$

k

$k$

f (k)

$f(k)$

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@Kaveh実際、削減は計算可能ではありませんが、問題自体は次のとおりです。（k、s）-SATは明らかにsごとにNPにあります。問題をNP完全にするパラメーター、つまりf（k）+1は、計算不可能なオブジェクトです。

— またはサッタス

2

AgrawalとBiswasは、既知のKarpまたはCookの削減がないNP完全言語を提示しました。その証人関係は普遍的であるため、完全性の証明が続きます（証人関係には、普遍的であるために必要な結合演算子と等価演算子が必要です）。この言語は、リファレンスのセクション6.3に記載されています。

M.Agrawal、S.Biswas、Proceedings IEEE Universal Conferenceon Structure in Complexity Theory（1992）、pp。207-220の普遍的関係。

— モハマドアルトルコキスタニー
ソース

1

NP完全言語は、定義により、カープ簡約で完全になります。最初の文はどういう意味ですか？

— エミルイェジャベク3.0

@EmilJeřábekそれはまさにそれが言うことを意味します、既知のカープまたはクックの削減はありません。AgrawalとBiswasは、普遍的な関係を持つ集合がNP完全であることを証明しました。論文を読むことをお勧めします。

— モハンマドアルトルコ

1

いいえ、それが言うことは意味をなさないので、それが言うことを意味することはできません。カープ削減で完全であることが知られていないものは、NP完全であることは知られていない、フォルティオリです。論文の要約と紹介をざっと読みましたが、それでもあなたの説明に合うものは見つかりませんでした。

— エミルイェジャベク3.0

@EmilJeřábekセクション6.3を注意深くお読みください。私は:)スキミングが、この場合には十分ではないことを怖い

— ムハンマド・アル・Turkistany

1

@ MohammadAl-Turkistany、私はポイントが「K.削減の下で完全であることは知られていない」と「既知のK.削減がない」という文は異なる意味を持っているという点だと思います。投稿には1つのことが書かれており、コメントにはもう1つのことが書かれています。

— usul