最適化問題のNP硬度

アルゴリズムゲーム理論の問題を研究しているときに、次の最適化問題の複雑さに興味を持ちました。

問題

与えられた：

グラウンドセットによって与えられ、 $U = [n] = \{1,\ldots,n\}$ $n$
$m$ ランキングは、合計注文として与えられます where（）、 $\langle S_i, \sigma_i \rangle$ $S_i \subseteq U$ $1 \leq i \leq m$
によって与えられる重みベクトル。 $U$ $w \in \mathbb{R}^n$

目標：次の合計を最大化するサブセット見つけます： whereは、よると、で最高ランクのアイテム。 $L \subseteq U$

r (L) = \sum_{i \in [m], S_{i} \cap L \neq \emptyset} w (t_{i} (L))

$r(L) = \sum_{i \in [m],\ S_i \cap L \neq \emptyset} w(t_i(L))$

t_{i} (L)

$t_i(L)$

L \cap S_{i}

$L\cap S_i$

σ_{i}

$\sigma_i$

問題は -hardだと思います。実際、すべてのがサイズあっても、問題は難しいようです。しかし、私はこれを証明することができませんでした。 $\mathsf{NP}$ $S_i$ $2$

私が知っていること

次の制限により問題が簡単になることが簡単にわかります。

すべての重みは均一です。すべての要素を選択することが明らかに最適です。
すべてのランキングは全体の完全なランキングです。最大の重みを持つ要素を取得することにより、最良のソリューションが得られます。 $U$
重みはバイナリ（）だけなので、重み付け要素をすべて選択するのが最適です。 $w \in \{0,1\}^n$ $1$

しかし、一般的なケース（LPを使用するなど）の多項式時間アルゴリズムを見つけることができませんでした。一方、問題が -hardであることを証明するのは簡単ではありません。問題のインスタンスの構造では、他の問題を簡単にエンコードできません。（問題の硬度は、すべての部分次数に同じを使用することから生じることに注意してください。ただし、すべてに同じ重みベクトルを使用すると、硬度を簡単に証明できなくなります）。Submath-Sum、NAND-Circuit-SATなどのいくつかの -hard問題をこの問題の決定バージョンに削減することに失敗しましたようなサブセットがあります）。 $\mathsf{NP}$ $L$ $\mathsf{NP}$ $r(L) \geq k$

一致するIPは、問題の特定のインスタンスに対して簡単に静かに構築できますが、私が知っている問題との類似性は十分とは言えません。

質問

この問題の複雑さを知っていますか？同様の最適化問題の複雑さを研究している参考資料はありますか？この最適化問題がことをどのように証明しますか？（それが本当に難しい場合）。 $\mathsf{NP}$

— JoelO
ソース

あなたの解決策は正しいと思います。句に同様のトリックを使用すれば、すべてのSiを2要素に制限することもできます。

— domotorp 2013年

さて、これが可能な解決策です：

減額は3SATからになります。

入力： 変数に対する DNF句。 $m$ $(\varphi_1,\ldots,\varphi_m)$ $n$ $(x_1,\ldots,x_n)$

削減： 各変数の2つの項目で構成される項目のセットを作成します。これは、変数またはその否定への割り当てに加えて、1つの補助項目です。すべてのアイテムの価格ましょうも、および価格も。 $x_i, \overline x_i$ $True$ $x_i$ $t$ $\{x_i,\overline x_i\}_{i=1,…,n}$ $1$ $t$ $1.5$

2セットのコンシューマを作成します。

セット1：有効性ランキング：このコンシューマーのセットは、への割り当ての有効性制約をエンコードします。つまり、すべてのうち1つが設定され（つまり、アルゴリズムによって取得されます）。すべての、4つの部分ランキングを作成します。 $x_1,\ldots,x_n$ $\{x_i,\overline x_i\}$ $True$ $i=1,\ldots,n$

$\sigma_{i1}: x_i\succ t\\ \sigma_{i2}: \overline x_i \succ t \\ \sigma_{i3}: x_i \succ \overline x_i \\ \sigma_{i4}: x_i \succ \overline x_i$

$t$ $x_i$ $\overline x_i$ $4$ $3$ $4.5$

$\varphi_j=\ell_{j1} \vee \ell_{i2} \vee \ell_{j3}$ $\sigma_j: \ell_{j1} > \ell_{j2} > \ell_{j3}$ $\varphi_j$ $\ell_{j1}, \ell_{j2}$ $\ell_{j3}$ $1$ $\sigma_j$

$m+4.5n$

— JoelO
ソース