PCP定理のない近似の困難さ

PCP定理の重要な用途は、「近似の困難さ」タイプの結果が得られることです。比較的単純な場合には、PCPなしでそのような硬度を証明できます。しかし、PCP定理を使用して近似の結果の硬度が最初に証明された、つまり、結果が以前はわからなかったが、後でPCPに依存しないより直接的な証明が見つかったケースはありますか？言い換えれば、PCPが最初に必要であるように見えたが、後でPCPを除去できる可能性がある場合はありますか？

例はこのペーパーです：

グルスワミ、V。、およびカンナ、S。（2004）。4色の硬さ3色のグラフ。SIAM Journal on Discrete Mathematics、18（1）：30-40。リンク

PCP定理を使用して、Khanna、Linial、およびSafra（2000）は、わずか4色を使用して3色のグラフを着色することはNP困難であることを証明しました。その後、Guruswami＆Khanna（2004）は、他の素晴らしいことの中でも、同じ結果に対してPCPフリーの証明を提供しました。

有向グラフの最大エッジ非結合パス問題については、Ma＆Wang（2000）の論文はラベルカバー問題に基づいており、ラベルカバー問題はPCP定理に基づいています。その後、2 素経路問題の硬度による単純な減少がGuruswamiらによって発見されました。等 （2003）硬度も向上しました。

概算からの例があります。NP関係の充足割り当ての数を概算することは、充足割り当てが存在するかどうかを判断することよりも難しいため、そのような問題の難しさを証明するためにPCP定理を必要としないことは驚くことではありません。それでも、PCPの定理は、たとえば、スパースグラフ内の独立セットの数をおよそ数えるこの論文の場合、便利な出発点を与えることがあります。http： //www.dcs.ed.ac.uk/home/mrj/papers/ DFJ02.pdf 後に、Slyは、Max-Cutの標準NP硬度に基づいて、独立したセットをほぼカウントする硬度結果を証明しました：http : //arxiv.org/pdf/1005.5584v1.pdf

前の回答とは多少異なる精神を持つ別の回答は、Uri Feigeのこの論文： 平均ケース複雑度と近似複雑度の関係です。

Uriは、いくつかの問題の近似の難しさを証明するために、平均的なケースの仮定がPCP定理を置き換えることができることを示しています。ただし、平均ケースの仮定を証明する方法がわからないことに注意してください。また、標準のNP硬さの仮定に基づいてそれらを証明することができないという証拠があります（Feigenbaum-Fortnowの論文を参照してください。ボグダノフ-トレビサンなど）。