型の二重性はどのように定義されますか？

ワドラーの再帰型で無料！[1]、彼は2種類のおよび、そしてそれらは双対であると主張しました。特に、彼は型ことを指摘しましたは前者の双対ではありません。ここで問題となっている双対性は、論理におけるデモーガンの双対性とは異なるようです。上記の3つのタイプについて、タイプの二重性がどのように定義されているのか、なぜ2番目のタイプが最初のタイプのデュアルであり、3番目のタイプがそうでないのか疑問に思います。ありがとう。$\forall X . (F(X) \rightarrow X) \rightarrow X$$\exists X . (X \rightarrow F(X)) \times X$$\exists X . X \rightarrow (X \rightarrow F(X))$

[1] http://homepages.inf.ed.ac.uk/wadler/papers/free-rectypes/free-rectypes.txt

この文脈では、二重性とは、あるケースでは最小の不動点を取り、別のケースでは最大の不動点を取ることを指します。私たちはどのような意味で理解しようとすべきである及びG = ∃ X 。（X → F （X ））× X再帰方程式の"最小"および"最大"ソリューションであるFは、（X ）≅ X。$L = \forall X . (F(X) \to X) \to X$$G = \exists X . (X \to F(X)) \times X$$F(X) \cong X$

まず、及びGは、（自然の制限特定の技術的な仮定の下で、実際の固定点であるFを比較マップため）Vを：F （L ）→ L及びW ：G → F （G ）で与えられる $L$$G$$F$$v : F(L) \to L$$w : G \to F(G)$ と W （X 、（F 、X ））= F （λ Y ：

仮定に任意の溶液であり、F （Y ）≅ Y媒介同型とU ：F （Y ）→ Y。次に、正準マップα ：L → Y  および  β ：Y → Gをαで定義します $Y$$F(Y) \cong Y$$u : F(Y) \to Y$

実際には、最小のソリューションは熱心なデータ型であり、最大のソリューションは遅延データ型です。たとえば、場合、最初のケースではAの有限リストを取得し、2番目のAの有限および無限リストを取得します。$F(X) = 1 + A \times X$$A$$A$

答えは、F代数のレンズを通して明確に理解できます。カテゴリーCの再帰タイプのカテゴリー表現は、ファンクターF ：C → Cを使用して大まかに指定できます。次に、F代数のカテゴリで動作します。$I$$\cal C$$F:{\cal C}\rightarrow{\cal C}$$F$

• オブジェクトとして：Cのオブジェクトと射影 α ：F （A ）→ $A$$\cal C$ $$\alpha:F(A)\rightarrow A$$

• 矢印として：正方形

  

今、私がFで表される再帰型になるためは、このカテゴリで初期でなければなりません。$I$$F$$I$

1. 射$in:F(I) \rightarrow I$
2. それぞれについて -代数（A 、α ）射F O LのD ：I → A適切な正方形通勤を行います。$F$$(A,\alpha)$$fold: I\rightarrow A$

今定義し。構築する方法をかなり明確であるF O リットルのDをちょうど取る： F O リットルのDを= λ I ：I 。私α ：I → A 棟I nは、私がしようとはしませんので、Wadlerはそれを説明し、少しトリッキーです。ただし、Fが$I=\forall X.(F(X)\rightarrow X)\rightarrow X$$fold$

今、カテゴリー理論では、すべての矢印が逆になっている状況を考慮したいことがよくあります。この場合、与えられた、我々はのカテゴリを検討することができますFは -coalgebrasで$F$$F$

• オブジェクトとして：Cのオブジェクトと射影 ω ：Z → F （Z $Z$$\cal C$ $$\omega: Z\rightarrow F(Z)$$
• 矢印として、代数の場合のような正方形（ただし、αとβは逆になります）。$F$$\alpha$$\beta$

次に、このカテゴリの端末オブジェクトを調べます。要件が逆になりました。$T$

1. 射$out:T\rightarrow F(T)$
2. 各代数Zについて、射c o f o l d ：Z → T。$F$$Z$$cofold: Z\rightarrow T$

これをどうやってやるの？Wadlerの規定だけでなく、私たちは取る。以前より同様に、我々は 、C 、O 、F O のL D = λ Z ：Zを。（Zは、ωは、Z ）：Z → Tは、 この構造は働いていないだろう、我々は代わりに取っていた場合はT = ∃ X 。X → （$T=\exists X.(X\rightarrow F(X))\times X$

私の経験では、 -calculi の型の双対性を理解するための適切で実用的な方法は、π -calculusを使用することです。$\lambda$$\pi$

型をプロセス計算に変換（分解）すると、双対性が単純になります。入力は出力に対して二重であり、逆も同様です。双対性には（大したことではありません）。

$\pi$$\alpha = (Bool, Int)^{\uparrow}$$\alpha$$\alpha$$x$$\overline{x}\langle false,7\rangle$$\overline{\alpha}$$(v, w)$$v$$w$$\overline{\alpha}$$(bool,int)^{\downarrow}$$\overline{\alpha}$$x$$c(v,w).0$

$\beta = (int, (int)^{\uparrow})^{\downarrow}$$(v, w)$$v$$w$$\overline{\beta} =(int, (int)^{\downarrow})^{\uparrow}$$\alpha$$\overline{\alpha}$$P$$\alpha$$x$$Q$$\overline{\alpha}$$x$$P$$Q$$\beta$$\overline{\beta}$

$\forall X.(X,(X)^{\uparrow})^{\downarrow}$$(v, w)$$v$$X$$w$$X$$x$

プロセスレベルでの普遍的な定量化とは何ですか？単純な解釈があります：データが型変数によって型付けされた場合、データを出力の対象として使用することはできず、オブジェクトのみとして使用できます。そのため、このデータを検査することはできません。ただ渡すか、または忘れることしかできません。

$\forall X.(X,(X)^{\uparrow})^{\downarrow}$$\exists X.(X,(X)^{\downarrow})^{\uparrow}$

この理論は、[1、2、3]で詳細に説明されており、アクセスが困難な他のいくつかの作業で、偏光線形論理と4の双対性の概念に非常に正確に関連しています。

$\lambda$$\lambda$$\pi$$\lambda$$\pi$$\lambda$

$\pi$

$\pi$

$\pi$

4 K.ホンダら、型付けされたパイ計算偏プルーフネットとの間の正確な対応。

5 R.ミルナー、プロセスとして機能。