完全性の理論でカープ簡約を使用する動機

多項式時間削減（クック削減）の概念は、非常に直感的な概念の抽象化です。異なる問題のアルゴリズムを使用して問題を効率的に解決します。

しかしながら、理論的には -completenessの概念N Pの -hardnessマッピング削減（カープ削減）を介して捕捉されます。「制限された」削減というこの概念は、（少なくとも私にとっては）直感的ではありません。それは少し不自然なように思えますが、それは硬さのやや直感的ではない概念を作成します。それによって、私はN Pがc o − N Pを自明に含まないという事実に言及しています。複雑性理論では、我々は非常にのような問題を解決することができるということをコンセプトに使用されているが、S A Tは、我々が解決することができることを意味するものではありません¯ S A $\mathcal{NP}$$\mathcal{NP}$$\mathcal{NP}$$co-\mathcal{NP}$$\mathsf{SAT}$$\overline{\mathsf{SAT}}$、（クック削減により捕捉される）天然の設定において、我々は解決するためのアルゴリズムを持っていると仮定、我々は解決することができる¯ S A Tをちょうどするためのアルゴリズムを実行することにより、S A Tと反対を返します。$\mathsf{SAT}$$\overline{\mathsf{SAT}}$$\mathsf{SAT}$

私の質問は、なぜ完全性の理論にカープ簡約を使用する必要があるかということです。それはどのような直感的な概念を捉えていますか？現実の世界で「計算の難しさ」を理解する方法とどのように関係していますか？$\mathcal{NP}$

チューリング簡約のように、多対一簡約は計算可能性/再帰理論の文献から複雑性理論に導入されました。クックおよびカープの削減は、計算可能性における同様の既存の削減の自然な複雑性理論バージョンです。

多対一の簡約を説明する直観的な方法があります。それはチューリング簡約の制限であり、オラクルからたった一つの質問をすることができ、オラクルの答えが私たちの答えになります。

ここで問題は、なぜこれを研究する必要があるのか​​ということです（そして、真理値表、弱真理値表などのような他の種類の縮約）。

これらの削減は、チューリング削減よりも詳細な画像を提供します。チューリング削減は、多くの概念を区別するには強すぎます。計算可能性理論の大部分はce / re度の研究に当てられています。ceセットの概念が中心です。無限集合を列挙できるTMマシンを使用できますが、その補集合を列挙できない場合があります。ceセットを学習したい場合、ceセットはその下で閉じられないため、チューリング削減は強すぎます。そのため、多対1の削減は、この目的のために削減を定義する（そしておそらく）自然な方法です。

他のタイプの削減も同様の理由で定義されています。興味があれば、Piergiorgio Odifreddiの「Classical Recursion Theory」をチェックすることをお勧めします。さまざまな削減とそれらの関係に関する非常に包括的な章があります。

複雑性理論については、議論は似ています。あなたがいることを受け入れると問題の非常に自然なクラスであり、あなたが勉強したいN Pを、そしてクック削減が強すぎます。自然な選択は、そのようなことより弱い減少であるN Pは、その下に閉鎖され、我々はそれらの削減に完全問題のWRTの存在を証明することができますN P。カープ削減は、この目的のための自然な選択です。$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$

このサイトには、クック対カープの削減に関するいくつかの質問があります。新人については、この点についてはあまり明確に説明されていませんが、これは多くの点で本質的に微妙であり、研究のアクティブ/オープンな分野だからです。これに対処するのに役立つかもしれないいくつかの参照があります。ウィキペディアが要約しているように、「P、NP、L、NL、co-NP、PSPACE、EXP、その他多くのタイプを含むある種の多対一の簡約性の下でほとんどの複雑さのクラスが閉じられているため、多くの対比が価値​​があります。ただし、これらのクラスは、任意の多対一の削減では閉じられません。」

高度な理論家でさえ、以下の参考文献のように正確な区別と違いを積極的に考えており、重要な開かれた複雑さのクラス分離が解決されない限り、完全なストーリーは利用できません、つまり、これらの質問は既知の対わからない。

[1] クックとカープ・レビン：NPが小さくない場合の完全性の概念の分離（1992）ルッツ、マヨルドモ

[2] クックとカープは同じですか？ベイゲルとフォートナウ

[3] その他のNP完全問題（PPT）の歴史とクックとカープ削減の違いに関するスライド9〜14を参照