物理学の原理としてのNP完全問題の難易度？

P対NPの質問に対する賛否の実験数学からの数値的証拠の欠如に常に興味をそそられます。リーマン仮説には数値検証からの裏付けとなる証拠がいくつかありますが、P対NPの質問に対する同様の証拠は知りません。

さらに、決定できない問題の存在（または計算できない機能の存在）の物理的な世界への直接的な影響についても知りません。タンパク質の折りたたみはNP完全な問題ですが、生物系では非常に効率的に行われているようです。スコットアーロンソンは、物理学の原理としてNP硬度仮定を使用することを提案しました。彼は非公式に「NP完全問題は物理世界では扱いにくい」と仮定している。

NPの硬度の仮定を仮定すると、なぜ私たちの宇宙がNPの硬度の仮定を尊重するかどうかを決定する科学実験を設計するのが難しいのですか？

また、に対する賛成または反対の実験数学からの既知の数値的証拠はありますか？$P\ne NP$

編集：物理学の法則としての計算困難性というタイトルのスコットアーロンソンによる素晴らしいプレゼンテーションがあります

が漸近的なステートメントであるという事実が自動的な「破壊者」であるとは思いません。「ランダムn変数10SAT式の満足のいく割り当てを見つけるには、少なくとも2 n / 10ステップかかる」など、知識と一致するがP対NPよりも強い具体的な推測を行うことができますAchlioptas Coja-Oghlanの植えられたモデル、これは単なる例です-私は合理的な具体的な数字が何であるかわかりません）。$P\neq NP$$2^{n/10}$

そのような推測は、これを解決しようとする自然なシステムが失敗する（例えば、極小にとどまる）という疑わしい予測につながる可能性があります。これは、実験で確認できます。実際、私はこれに関する専門家ではありませんが、私の知る限り、ジョー・フィッツシモンズが述べたように、そのような予測は断熱計算で確認されていました。（スコットアーロンソンは、シャボン玉を使った楽しい実験も行いました。）

もちろん、「経験的証拠」は 、人々が最適化問題の解決、暗号化の暗号化などを試みており、これまで成功していないという事実を見ることができます...$P \neq NP$

実世界は一定サイズのオブジェクトなので、大きなO表記に隠された巨大な定数を持つNP完全問題を解くための多項式時間実世界手順を除外する方法はありません。

とにかく、この点に加えて、仮定は「実際の手順はありません...」という形式のステートメントです。そのようなステートメントに反論する実験をどのように設計しますか？「現実の世界でXを行うとYが発生する」というような仮定だった場合、Xを実行することでこれを反論することができます。それを決める。これは物理法則の物理的な結果として示される可能性がありますが、チューリングマシンは物理法則に従うため、これはP対NPよりもさらに困難です。TMが多項式時間でNP完全問題を解決できないことを示すことさえできなかったので、物理プロセスが多項式時間でNP完全問題を解決できないことを示すことは完全に絶望的です。

実際、NPに等しくないPの物理バージョン、つまり、自然な物理システムはNP完全問題を解決できないということは非常に興味深いです。いくつかの懸念があります

1）プログラムは、実験物理学と理論物理学の両方に実質的に「直交」しているようです。そのため、物理学における（これまでの）有用な洞察は実際には提供されていません。

この物理的なバージョンの推測から物理学におけるいくつかの洞察をどのように推測できるかという素晴らしい議論がありますが、これらの議論はかなり「ソフト」で抜け穴があります。（そして、Pに等しくないNPや、NPがBQPに含まれていないなどの非常に難しい数学的予想に依存しているため、そのような議論は問題になる可能性が高い。）

（同様のコメントが「教会のチューリング論文」にも当てはまります。）

2）Pに等しくない物理NPは、Pに等しくない数学的NPよりも広い推測ですが、自然界で発生するアルゴリズム（さらには人工のアルゴリズムでさえも）理論的に可能なすべてのアルゴリズムの制限されたクラス。そのような制限を正式に理解することは非常に興味深いでしょうが、いずれの場合でも、質問で提案された実験的な「証明」はこれらの制限されたクラスにのみ適用されます。

3）科学的モデリングでは、計算の複雑さは一種の二次問題を表します。まず、自然現象をモデル化し、モデルに基づいて予測できるものを確認します（計算の複雑さの理論は別として）。モデリング段階で計算の複雑さの問題を重視しすぎても、実りあるものではないようです。多くの場合、モデルは最初は計算上手に負えませんが、自然に発生する問題に対しては実現可能であるか、現象を理解するのに役立ちます。

4）漸近的な問題は「ディールブレーカー」ではないことにボアズに同意します。それでも、実際のモデリングに対する計算の複雑さの問題の関連性に関しては、かなり深刻な問題です。

私が少し一般化できるようにしたら...質問を拡張して、他の複雑さの理論的な硬度の仮定と科学実験の結果を求めましょう。（物理に焦点を当てます。）最近、空間的に分離された状態で（局所的に相関していない可能性がある）物理システムで測定を実行する2つの測定デバイス間の許容可能な相関のセットを理解しようとするかなり成功したプログラムがありました（ 1）。この設定および同様の設定の下で、通信の複雑さの難しさに関する仮定を使用して、量子力学の許容可能な相関を再現する厳しい境界を導き出すことができます。

あなたにフレーバーを与えるために、この点に関する以前の結果を説明させてください。A ポペスク-Rohrlichボックス（またはPRボックス）の情報は光よりも速く移動することができないことを原則と一致している測定デバイスとの間の相関を再現する仮想デバイスである（の原理と呼ばれるシグナリングなし）。

S. Popescu＆D. Rohrlich、公理としてのQuantum nonlocality、Found。物理学 24、379–385（1994）。

これは、何らかの影響を与える通信の複雑さのインスタンスとして見ることができます。2人のオブザーバーが暗黙的に通信しなければならないという考えは、物理学者がシグナリングを呼び出さない何らかの制約を想定しています。この考えを逆にすると、信号がないことによって制約される2つの測定デバイス間でどのような相関関係が可能ですか？これは、ポペスクとローリッヒが研究したものです。彼らは、この許容可能な相関のセットが、量子力学で許容される相関よりも厳密に大きく、それが古典物理学で許容される相関よりも厳密に大きいことを示しました。

質問はそれからそれ自身を提示します、何が量子相関のセットを「正しい」相関のセットにし、シグナリングなしで許可されたものではないのですか？

この質問に対処するために、通信の複雑さが自明ではない関数が存在するという最低限の前提を作りましょう。ここで、自明ではないということは、ブール関数f（x、y）を共同で計算するために、1つ以上のものが必要であることを意味します。ビット（2）ます。驚くべきことに、この非常に弱い複雑さの理論的仮定でさえ、許容可能な相関の空間を制限するのに十分です。

G.ブラザード、H。バースマン、N。リンデン、AAメトー、A。タップ、およびF.ウンガー、コミュニケーションの複雑さが自明ではない世界での非局所性の制限、Phys。牧師レッツ。96、250401（2006）。

弱い結果はすでに博士号で証明されていることに注意してください。ウィム・ヴァン・ダムの論文。ブラザードら 障害があり、時々正しい相関関係を生成するだけであっても、PRボックスにアクセスできることは、通信の複雑さを完全に単純化できることを証明しています。この世界では、単一のビットのみを送信することにより、すべての2変数ブール関数を共同で計算できます。これはかなりばかげているように思えるので、逆に見てみましょう。コミュニケーションの複雑性の非自明性を公理とみなすことができます。これにより、実験で特定の量子よりも強い相関関係が観察されないという事実を導き出すことができます。

通信の複雑さを使用するこのプログラムは、驚くほど成功しました。おそらく、計算の複雑さの対応するプログラムよりもはるかに成功しています。上記の論文は本当に氷山の一角にすぎません。さらに読み始めるのに適した場所は、このレビューです。

H.バースマン、R。クレーブ、S。マッサー、R。デウルフ、非局所性と通信の複雑さ、Rev。Mod。物理学 82、665–698（2010）。

または、私が引用した他の2つの論文からの前方文献検索。

これは、通信設定が計算設定よりも分析にはるかに適している理由について興味深い疑問を提起します。おそらくそれは、cstheoryに関する別の投稿された質問の主題である可能性があります。

（1）CHSH不等式（ベル不等式の一種）として知られる何かを測定する実験を例にとります。物理システムは2つのもつれた光子で構成され、測定は空間的に離れた2つの位置での個々の光子の偏光測定です。

F（x、y）は、実際に送信するので、xとyの両方に依存するたびに（2）この単一のビットが必要であるゼロないシグナリングに違反しないであろうビット。

また、P ≠ N Pに対する賛成または反対の実験数学からの既知の数値的証拠はあります$P \neq NP$

$NP \subseteq P/poly$リーマン仮説またはゴールドバッハ予想で見つかった類似の種類の これは、他の回答で提起されたのと同じ問題に直面します-有限の証拠は私たちに漸近的な回答を与えることはできません。しかし、リーマン仮説の現在の「証拠」にも本質的に同じ問題が当てはまります。

現在、長さ10までのSATの最小回路を見つけることは現在非常に困難です。ただし、幾何学的複雑性理論のいくつかのアイデアでは、より効率的な（二重指数関数ではなく指数関数的）計算検索で同様の結果を得ることができます。Mulmuleyの推測の1つは、実際にはこの検索を多項式時間で実行できることですが、それに近いものを証明するにはまだまだ道のりが長いです。

「多項式時間」と「指数時間」の定義は、入力サイズが無限大になったときの実行時間の制限的な動作を説明しています。一方、物理的な実験では、必ずサイズの制限された入力のみが考慮されます。したがって、特定のアルゴリズムが多項式時間、指数時間、または他の何かで実行されるかどうかを実験的に決定する方法はまったくありません。

または言い換えれば、ロビンが言ったこと。

まず、Robinに完全に同意すると言ってみましょう。タンパク質の折り畳みに関しては、小さな問題があります。このようなすべてのシステムと同様に、タンパク質の折り畳みは局所的な最小値にとどまる可能性がありますが、これはあなたが無視しているようです。より一般的な問題は、単にハミルトニアンの基底状態を見つけることです。実際、スピン（キュービット）のみを考慮しても、この問題はQMAで完全です。

ただし、自然なハミルトニアンは、QMAの完全性（自然な相互作用を反映しない傾向がある）を証明するために使用された人工のものよりもやや柔らかいですが、単純なシステムで自然な2体相互作用に制限しても、結果はNPです-完全な問題。実際、これは、断熱量子コンピューティングを使用してNP問題に取り組む試みのアプローチの基礎を形成します。残念ながら、このアプローチは、エネルギーレベル構造に関係するかなり技術的な問題のため、NP完全問題には機能しないようです。しかし、これは、NP内に存在する問題の興味深い結果につながります。これは、本来は効率的に解決できません（つまり、物理プロセスを意味します）。効率的に冷却できないシステムが存在することを意味します。つまり、

計算の観点からの実世界の状況の研究は、連続離散の「ジャンプ」のために非常に困難です。現実の世界のすべてのイベントは（おそらく）連続時間で実行されますが、通常使用するモデルは離散時間で実装されます。したがって、ステップの大きさや、問題のサイズなどを定義することは非常に難しいです。

この件に関するアーロンソンの論文に要約を書いたが、それは英語ではない。見る元の論文を。

個人的に、私は計算にモデル化された実世界の問題の別の例を聞いたことがあります。この論文は、鳥の群れに基づく制御システムモデルに関するものです。鳥にとっては現実の生活には短い時間がかかりますが、計算の問題として分析すると扱いにくい（「2の塔」）ことがわかりました。見るバーナード・シャゼルの論文をを参照してください。

[編集：シャゼルの論文に関する部分を明確化。正確な情報をご提供いただきありがとうございます。]

NPの難治性の例として、n体問題にまだ投票しています。数値解法に言及する紳士は、数値解法が再帰的モデルであることを忘れており、分析的解法と同じように原則的に解法ではないことを忘れています。Qui Dong Wangの分析ソリューションは難解です。折りたたむことができるタンパク質、および2つ以上の物体のシステムで軌道を回る惑星は物理システムであり、P-NP問題が扱う種類のアルゴリズムソリューションではありません。

また、連続時間でのソリューションに関するchazisopの難しさも評価する必要があります。時間または空間のいずれかが連続している場合、潜在的な状態空間は数えられなくなります（アレフ1）。

効率的に解決できません $n$-体の問題ですが、それらの岩のための岩の惑星はうまく管理しているようです。