最小固定点ロジックを理解する

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論文をよりよく理解するために、最小固定小数点論理について簡単に理解しようとしています。行き詰まっている点がいくつかあります。

場合はグラフであります $G = (V,E)$

Φ (P) = {(a, b) ∣ G ⊨ E (a, b) \lor P (a, b) \lor \exists z (E (a, z) \land P (z, b))}

$\Phi(P) = \{(a,b) \mid G \models E(a,b) \lor P(a,b) \lor \exists z (E(a,z) \land P(z,b)) \}$

二項関係演算子です。少なくとも固定小数点なぜ私は理解していないのの推移閉包である。この例は、有限モデル理論とそのアプリケーション（p。 $P$ $P^*$ $P$ $E$

最小固定ポインター演算子で1次論理を拡張するとき、関係記号が数式で正である必要がある理由がわかりません。正とは、すべてのが偶数の否定記号内にあることを意味します。 $S_i$ $S_i$

誰もが、最小修正ポインターロジックとその構文およびセマンティクスを直感的に理解するために何を読むのが良いか考えていますか？

lo.logic descriptive-complexity finite-model-theory

— ヨアヒム
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最小不動点の概念に問題がある場合は、より一般的な次数理論の背景を得るために、少し時間をかけることをお勧めします。

Davey and Priestley、Introduction to Lattices and Orderは良いイントロです。

推移閉包が最も不確定な点である理由を確認するには、論理式を一度に1つずつ適用して、空のセットから閉包を構築するとします。数式を使用して新しいエッジを追加できないときに、最小の固定点が到着します。

式が正であるという要件は、プロセスが単調であること、つまり各ステップで成長することを保証します。負の部分式がある場合、いくつかのステップでエッジのセットが減少し、LFPへの収束ではなく、上下の非終端振動につながる可能性があります。

— マーク・ハマン
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セット包含によって順序付けられた有限セットパワーセットから形成されたブール代数を考えてみましょう。ここで、次によって定義される演算子考えます。 $S$ $P$

P (X) = \neg X

$P(X) = \lnot X$

明らかには非正の演算子です。 $P$

ような固定点がないことを示します。その結果、は明確に定義できないと結論付けることができます。 $\mu P$ $P(\mu P) = \mu P$ $\mu X.\;P(X)$
Knaster-Tarksiの定理を自分で証明してください。つまり、完全なラティスと単調関数がある場合、の固定点のセットは完全なラティスを形成します。（結果として、には最小かつ最大の不動点があります。）この証明は非常に短いですが、初めて見たときは少し頭が痛いので、の単調性は議論にとって重要です。 $L$ $f : L \to L$ $f$ $f$ $f$
正にしか発生しない自由変数式で定義された演算子は単調であることを自分で証明してください。したがって、正の発生は、単調性を強化するのに十分な構文条件です。 $X$

私は、直感を実際に内部化するためにこれらの証明を自分で行うことに代わるものはないことに気づきました。

— ニール・クリシュナスワミ
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これは非常に古い投稿なので、必要に応じてすでに回答に遭遇している可能性があります。過去数ヶ月間FO（LFP）を勉強して以来。私はあなたが必要とする答えをある程度理解しています。

肯定性の要件に答えるには、式が単調演算子をキャプチャするかどうかをテストすることが有限モデルと無限モデルの両方で決定できないという事実から必要性が生じます。単調演算子を取り込む式とはどういう意味ですか？もしFO書き出すと仮定遊離二次変数言うと式、、我々は対応を定義することができるが演算子：ここで、ar（X）は2次変数のアリティですAは -structureおよびのドメインです $[\sigma$ $\phi(\vec{x},X)$ $|\vec{x}|=ar(X)$ $f_\phi$ $\mathcal{P}(A^{ar(X)}) \mapsto \mathcal{P}(A^{ar(x)})$ $\sigma$ $\mathbb{A}$ $\mathcal{P}(Z)$ は、集合Z集合です。また、。この演算子が単調である場合、上記の回答で述べたKnaster Tarskiの固定小数点定理に従って、有限構造と無限構造の両方で固定小数点を簡単に取得できます。しかし、問題は、上記のようにフォームから書き出された式が単調演算子をエンコードするかどうかをテストすることであるため、次善の策をとる必要があります。2次自由変数の陽性は、単調性の要件が満たされることを保証します。これは、この現象を証明するための標準的な構造誘導です。問題は、それで十分ですか？ $f_\phi(Z) = \{\ \vec{a} \in A^{ar(X)}\ |\ \mathbb{A},\vec{a},Z \models \phi\ \}$

それについては、まだ読んでいるので、まだはっきりとした答えはありません。私はこの前で論文を指すことができます。少なくとも私がここで述べたアイデアを説明する1つは、論文Monotone vs Positive -Ajtai、Gurevichからのものです。さらに、GurevichとShelahによる一次論理の固定小数点拡張についても触れています。これは、固定小数点演算子を正の式に適用した場合、任意の単調式で適用した場合と比較して表現力が失われないことを示しています。

— ラミット
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