パーティションのサブセットを最大化するSpernerファミリー

LETサイズのセットである及びサイズのセットである固定するために、および、およびその結果。何である（又は）Spernerファミリーでれる最大化されますか？ $A$ $k$ $B$ $\ell$ $k$ $\ell$ $A\cap B=\emptyset$ $\mathcal{F}$ $A\cup B$ $\mathcal{F}_B=\{C\cap B ~:~ C\in\mathcal{F}\}$

への上限が実際に必要です（おそらく何かよりも良い場合は緩んでいるように見える、） $|\mathcal{F}_B|$ $2^\ell$ $2^k<\ell$

この種の情報や関連資料が見つかるヒントや参考資料をいただければ幸いです。ありがとう。

reference-request co.combinatorics

— マッテオ
ソース

正しい上限は、最も中央の二項係数の合計です：または if。セットはアンチチェーンです。LYM不等式により、アンチチェーンの和集合は、最大の二項係数の合計より大きくなることはできません。範囲を達成するには、とし、 $2^k$

| F_{B} | \leq （ \binom{ℓ}{⌊ （ ℓ - 2^{k} ） / 2 + 1 ⌋} ） + \dots + （ \binom{ℓ}{⌊ （ ℓ + 2^{k} ） / 2 ⌋} ） 、

$|\mathcal{F}_B|\leq\binom \ell {\lfloor (\ell - 2^k)/2+1\rfloor} + \dots + \binom \ell {\lfloor(\ell + 2^k)/2\rfloor},$

| F_{B} | \leq 2^{ℓ}

$|\mathcal{F}_B|\leq 2^\ell$

2^{k} \geq ℓ + 1

$2^k\geq \ell+1$

{B \cap C ∣ C \in F and A \cap C = A^{'}}

$\{B\cap C\mid C\in\mathcal F\text{ and }A\cap C=A'\}$

2^{k}

$2^k$

2^{k}

$2^k$

A = {a_{0}, \dots, a_{k - 1}}

$A=\{a_0,\dots,a_{k-1}\}$

F = {C \subseteq あ \cup B | ⌊ （ ℓ + 2^{k} ） / 2 ⌋ - \underset{私 ： a_{私} \in C}{Σ} 2^{私} = | C \cap B |} 。

$\mathcal F=\left\{C\subseteq A\cup B \mid \lfloor(\ell + 2^k)/2\rfloor- \sum_{i\colon a_i\in C} 2^i=|C\cap B| \right\}.$

— コリン・マキヤン
ソース

コリン、ありがとう。もっと複雑な方法で同じ結果を得たので、それは正しい答えだと思います。

— Matteo