ソートの複雑さ

数値の配列のソートがにとって難しいことを示すことは難しくありません。入力が1と0の配列である場合、それは本質的機能であるC O U N T（所定のNビット、出力バイナリにおける1の数）以来C O U N Tはのための完全であるT C 0、それが可能ですA C 0で、単項数を2進数に変換し、（対数的に）小さな2進数を単項数に変換します。$\mathsf{TC^0}$$Count$$n$$Count$$\mathsf{TC^0}$$\mathsf{AC^0}$

S o r t （→ x）= U n a r y （C o u n t （→ x）$Count(\vec{x}) = Binary(Sort(\vec{x}))$
$Sort(\vec{x}) = Unary(Count(\vec{x}))$

T C 0の力$\mathsf{TC^0}$は本質的にバイナリ文字列をソートすることです（たとえば、100011から000111）。これは、配列内の数値が制限されている場合により一般的に当てはまります。私の質問は、数が制限されていない場合はどうなりますか？

無制限の数値の配列をソートする問題はまだますか？N C 1のようなより大きなクラスのためにそれは完全ですか？$\mathsf{TC^0}$$\mathsf{NC^1}$

あなたが持っていると仮定数字のx 1、... 、X nは幅のM ≥ ログのn。一般性を失うことなく、すべての数値は異なります（余分なlog nの下位ビットを追加します）。二つの数字はACに比較することができる⁰ようにACで、⁰我々はごとに、計算することができるX I、バイナリーベクターVで定義のV 、J = 1であれば、X jの ≥ X I。TCで⁰我々は、並べ替えることができ、Vへの$n$$x_1,\ldots,x_n$$m \geq \log n$$\log n$$x_i$$v$$v_j = 1$$x_j \geq x_i$$v$$w$（ACで探し、次いで、及び⁰）の位置ように、W 、K = 1一方、W のk - 1 = 0（ここで、W 0 = 0、W N + 1 = 1）。これらの値は、所与のKそれぞれについて、I ∈ [ N ]、我々はACでソートされた配列計算することができる⁰。合計すると、TC ⁰回路が得られます。$k$$w_k = 1$$w_{k-1} = 0$$w_0=0$$w_{n+1}=1$$k$$i \in [n]$