逆の計算に対して計算するのに証明可能な異なるリソースを必要とする関数のクラスはありますか？

この質問が単純すぎる場合は、事前におApび申し上げます。

基本的に、私が知りたいのは、次のプロパティを持つ関数があるかどうかです。$f(x)$

テイクするドメインと終域はに制限されているとき文字列のビット。それから$f_n(x)$$f(x)$$n$

1. $f_n(x)$は単射です
2. $f_n(x)$は全射です
3. $f_n(x)$よりいくつかの合理的なモデルで計算するために厳密に小さいリソース（ゲートのいずれかの空間/時間/回路深さ/数）をとり、。$f^{-1}_n(y)$$y=f_n(x)$
4. とのリソースの違いは、厳密に増加する関数としてスケーリングされます。$f_n(x)$$f^{-1}(y)$$n$

関数が全単射または単射である例を考え出すことができますが、不自然な計算モデルに頼らない限り両方ではありません。いくつかのリングで単位時間の左シフトを許可するが右シフトは許可しない計算モデルを選択した場合、もちろん、線形のオーバーヘッドを考え出すことができます（より複雑な順列をプリミティブと見なす場合はそれ以上） 。このため、私は合理的なモデルにのみ興味があります。これは、チューリングマシンまたはNAND回路などを意味します。

場合、これは明らかに真でなければなりませんが、場合もこれが可能であるように思われるので、その質問を決定することになりません。$P\neq NP$$P=NP$

この質問には、私が見逃した答えに対する明白な答えまたは明らかな障害がある可能性があります。

コメントを再投稿するように求められました。私はHastadによるこの論文を指摘しました。これは、にPが反転しにくい順列が存在することを示しています。$NC^0$

http://dx.doi.org/10.1016/0020-0190(87)90053-6（PS ）

完全なバイナリベースのブール回路の場合（複雑度測定は最小回路のゲート数）、順列C （f − 1）の最もよく知られた比率$C(f)$。私の知る限り、この研究で最適な定数はヒルトゲンによって得られたもので、2に等しい。$\frac{C(f^{-1})}{C(f)} = const$

編集。が大きくなると比率を増やしたいので、これはあなたの質問には答えません。ただし、完全なバイナリベースのブール回路については、これ以上良いものはありません。$n$

まず第一に、関数のコドメインを最初に定義しないと、全射性が明確に定義されないことを指摘したかったのです。したがって、以下の説明では、関数が全射であるコドメインを明示的に参照します。

離散対数関数またはRSA関数はどちらも順列であり、反転しにくいと推測されます。以下では、離散対数関数について説明します。

ましょうであり、n個のビットの素数、及びGは乗法群の生成元であるZ * P N。f nを定義する：Z p n → Z p nを f n（x ）= g $p_n$$n$$g$$\mathbb{Z}_{p_n}^*$$f_n \colon \mathbb{Z}_{p_n} \to \mathbb{Z}_{p_n}$。$f_n(x) = g^x \pmod{p_n}$

それから、はあなたの質問で述べられている特性を持つ関数です：単射と全射の両方で（コドメインZ p nを超えます）、多項式時間で計算できますが、効率的なアルゴリズムはf nを反転できないと推測されます平均。$f_n$$\mathbb{Z}_{p_n}$$f_n$