特定の計算可能なプロパティを持つ有限グラフの存在/非存在を示す結果は、特定の複雑な結果を意味します

特定の計算可能なプロパティを持つ有限グラフの存在（または非存在）が特定の複雑さの結果（P = NPなど）を意味することを示す既知の結果はありますか？

完全に架空の結果の1つは次のとおりです：区別されたエッジA、B、C、Dを持つ有限グラフが存在し、すべての最大一致にA、B、C、Dのすべてが含まれるか、A、B、C、Dのいずれも含まれない場合、次にP = NP。

$NP$$coNTIME(n^{O(\log n)})/(\log \log n)$$MAX-CLIQUE$きちんとしたラムジー理論の特性を持つグラフがあることを意味します。（定義については論文を参照してください。）そのようなグラフが実際に存在するかどうかを証明する上で何らかの進展があったかどうかはわかりません。

申し訳ありませんが、この1年前の質問に今出会いました...

実際、いくつかのプロパティを持つ明示的なグラフがブール関数の強い下限を意味することを示す多くの結果があります。たとえば、高アフィンまたは射影次元のグラフは、数式と分岐プログラムの強い下限を意味します。グラフの「より単純な」測度もあり、その下限は計算の複雑性に大きな影響を与えます。それらのいくつかをスケッチさせてください。

$s(G)$$s$$G$$\leq s$$\leq s$$s(G)\geq n^{1/2}$$n\times n$$G$$s(G)\geq n^c$$c>0$$K_{2,2}$$s(G)$

$Star(G)$$2$$G$$K_{1,n}$$K_{n,1}$$Star(G)=\Omega(n^2/\log n)$$G$$Star(G)\geq (4+c)n$$c>0$$m\times n$$m=o(n)$$Star(G)\geq (2+c)n$$Star(G)\geq 2n-1$

$Sym(G)$$t$$T\subseteq\{0,1,\ldots,t\}$$t$$(u,v)\in G$$(u,v)$$T$$Sym(G)\geq n/2$$Sym(G)$$2^{poly(\ln\ln n)}$$ACC$$Sym(G)$$Sym(G)=O(\log n)$$T$

これがどのように行われるかについての詳細は、こちらにあります。

$f:{0,1}^n\rightarrow {0,1}^n$$O(n)$$O(\log n)$深さ-まだ証明されていないもの）は、スーパーコンセントレータと呼ばれる特定の種類のグラフが存在しないという仮定の下にあります。（これは漸近的な質問であり、1つのグラフについてだけではありませんでした。）しかし、彼は後に、これらが存在する（そして実際には他の用途がある）ことを示しました。

特定のグラフではなく、グラフのファミリについて話す場合、答えは確かに「はい」です。たとえば、MihailとVaziraniの予想では、すべての0/1ポリトップグラフはエッジエキスパンダーとして優れているか、非常に優れている（つまり、エッジの拡大は、1 /多項式（次数）または1によって制限される）。

これが真実である場合、アロン、ジェラム、シンクレアのサンプリング戦略を介して、多数のオープンな組み合わせ問題およびカウント問題のための効率的なランダム化マルコフ連鎖モンテカルロ近似アルゴリズムが存在します。

同様に、ファセットの数とグラフの次数において、直径が多項式よりも速く成長する多面グラフのファミリーが存在する場合、線形計画法は、エッジ追跡アルゴリズムを介して強く多項式の時間で解決することはできません。

Anand Kulkarniのコメントの拡大：

多項式時間でSATを認識する確定的チューリングマシンMがあるとします。次に、Mの有限遷移関係が関数になります。多項式時間でSATを認識するTMを知っていますが、それらの遷移関係は関数ではありません。遷移関係は、1つの2パーティションに（状態、テープシンボル）のタプル、もう1つの2パーティションに（状態、テープシンボル、移動）のタプル、2組から3組に弧を描く2部有向グラフであることに注意してください。

したがって、関数であるそのような有向グラフがある場合、自明ですが、P = NPです。

もちろん、これは非常に自然な定義ではありません。受け入れ状態に到達する状態空間内のすべてのパスが、入力サイズの多項式によって制限された長さであるという要件に意味を与えるために補助的な機械が必要になるためです。ポリタイム制限のチューリングマシンを表す有限グラフのセットがどのように見えるか、またはこれらのグラフに興味深いグラフ理論的特性があるかどうかは、まったく明らかではありません。