サイズの制約が異なる2つのセットの部分モジュラー関数を最大化する

2つの完全に異なるドメイン（リンゴとオレンジ）があり、最初のドメインからオブジェクトのセットを取得し、2番目のドメインからオブジェクトのセットを取得して実数を返す関数 $f$ があります。

$f(S,T)$ は、以下の興味深いプロパティがあります。

固定すると、それはに対して負ではなく、サブモジュラーで単調になります。 $T$ $S$
固定すると、それは負ではなく、サブモジュラーで単調になります。 $S$ $T$

2つのカーディナリティー制約を使用してを最大化したいおよび。 $f(S,T)$ $|S| = s$ $|T| = t$

どうやってやるの？製品空間を考えると、関数は単調で部分モジュラーです。したがって、標準の貪欲アルゴリズムを適用できます。2つの異なるサイズの制約を処理しても問題にならない場合があります。 $(a, x)$ と $(a, y)$ を順番に追加すると、を増やすことができます $|T|$ を増やすことなく。 $|S|$

問題は、 $1-1/e$ 近似がまだ成り立つかどうかです。

ds.algorithms optimization submodularity

— フランチェスコ・ボンキ
ソース

これらの2つのプロパティは、製品空間の部分モジュラ性を意味しません。たとえば、と。

f (\emptyset, \emptyset) = f ({s}, \emptyset) = f (\emptyset, {t}) = 0

$f(\emptyset,\emptyset)=f(\{s\},\emptyset)=f(\emptyset,\{t\})=0$

f ({s}, {t}) = 1

$f(\{s\},\{t\})=1$

— Colin McQuillan

ありがとう、良い点。だから、私の質問の後半を忘れましょう。そのような関数を最大化する方法について何か考えはありますか？

— Francesco Bonchi

問題は概算するのが難しい可能性があります。最も密度の高い二部サブグラフ問題は、特殊なケースとしてキャストできます。二部グラフ所与の定義のためのとの間のエッジの数であるとと。次に、は目的のプロパティを満たします。実際には $(V,E)$ $V=V_1 \uplus V_2$ $f(S,T)$ $S \subseteq V_1, T \subseteq V_2$ $S$ $T$ $f$ $f(S,\cdot)$ はモジュラーであり、もモジュラーです。場合我々は求めているで最も密度の高い二部部分グラフ問題。多項式比近似のみが既知であり、いくつかの仮定の下では、この問題は難しいことが示されます。 $f(\cdot,T)$ $a=b=k$ $k$ $k$

— チャンドラ・チェクリ
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