確率論的証明システムの片側エラー

最も確率的証明システム（例えばPCP定理、）では、エラーの確率は通常、偽陽性の側で定義されている、すなわち、一般的な定義は次のようになります。場合、その後検証は常に受け入れますが、中に他の場合、拒絶の確率は少なくとも1/2です。$x \in L$

エラーが反対側で発生することを許可することに問題はありますか？つまり、ベリファイアは常に必要な場合に拒否し、受け入れる必要がある場合には一定のエラーしか発生しません。別の明らかな可能性は、両側でエラーを許可することです。これらの定義は通常与えられるものと同等ですか？または、動作が異なりますか？またはそのことについて、反対側のエラーを許可することには本当の問題がありますか？

完全性エラーを許可しても問題はなく、よく考えられます。 ここにいくつかのポインタがあります。

一方、一般的に言えば、健全性エラーを許可しないと、モデルのパワーが大幅に失われます。

対話型証明システムの場合、健全性エラーを許可しないと、証明者から検証者への一方向の通信を除いて、対話が役に立たなくなります。つまり、完全な健全性を持つIPはNPと同等です。これは、検証者のランダムビットと、検証者に[FGMSZ89]を受け入れさせる相互作用の筆記録を推測するNPマシンを検討することで示すことができます。

確率論的にチェック可能な証明（PCP）システムの場合、同じ推論は、完全な健全性を必要とする場合、ランダム性がクエリする場所の選択に役に立たなくなることを示しています。より正確には、完全性c（n）と完全適応性（適応クエリを使用した場合でも）を備えたPCP（r（n）、q（n））が、決定問題のクラスCに等しいことを示すことができますA =（A _yes、_ない言語が存在するため）B Pように⊆{0,1} *×{0,1} *×{0,1} *を

• もしX ∈ A _はい、その後のPr _{Y ∈{0,1} ^R（N）} [∃ Z ∈{0,1} ^、Q（N）、その結果（X、Y、Z）∈ B ]≥ C（N）そして
• もしX ∈ A _なし、次いで∀ Y ∈{0,1} ^R（N） ∀ Z ∈{0,1} ^、Q（N）、（X、Y、Z）∉ B、

ここで、n = | x |。（クラスの定義の中にいることを注意C、イエスの場合は、全体の証明書を必要としないが、検証者は、ランダムな文字列ピック前に調製されるYを A証明書が知った後に調製することができる。PCPシステムの通常の定義とは異なり、yと、そして証明書の照会された部分のみが必要です。これが、zの長さがq（n）である理由です。）単純な下限と組み合わせると、これは次のことを意味します。

• 完全な健全性= PのPCP（log、log）
• 完全な健全性= RPの PCP（poly、log）。
• 完全な健全性を備えたPCP（poly、poly）= NP。

これらをPCPの定理PCP（log、O（1））= NPおよびPCP（poly、O（1））= NEXPと比較すると、完璧な健全性を要求することには大きな影響があることがわかります。

[FGMSZ89]マーティンフラー、オーデドゴールドライヒ、イシャイマンスール、マイケルシプサー、スタティスザチョス。インタラクティブな証明システムの完全性と健全性について。ではランダムネスと計算、巻。5 of Advances in Computing Research、pp。429–442、1989。http ： //www.wisdom.weizmann.ac.il/~oded/PS/fgmsz.ps