関数空間をもつ帰納型の閉包序数

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有限の積と合計から構築された関数子には、閉包序数、Francois Metayerによるこの原稿で詳しく説明されています。すなわち、帰納的なタイプ到達できますファンクター反復することにより、反復後に固定点に到達します。 $\omega$ $nat := \mu X. 1 + X$ $1 + X$ $\omega$

しかし、ように、定数の累乗を許可すると、では不十分です。 $\mu X. 1 + X + (nat \rightarrow X)$ $\omega$

べき乗を含む結果を探しています。どのような序数で十分ですか？

特に高く評価されるのは、そのようなファンクタが、上記の原稿のようないくつかの序数のに対して -continuousであるという証拠を示すリファレンスです。 $\alpha$ $\alpha$

lo.logic type-theory ct.category-theory

— アンドリュー洞窟
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あなたの質問への答えはいくつかの事柄に依存しますが、最も重要なのは関数空間のサイズです。説明します。定義回答で述べたように、各は内部的にシステムの番目の通常の基数と見なすことができます。集合論では、このデータ型は実際の序数で表すことができ、適切に巨大です。

O_{0} = n a t

$O_0 = nat$

O_{n + 1} = μ X . 1 + X + (O_{n} \to X)

$O_{n+1} = \mu X.\ 1+X+(O_n\rightarrow X)$

O_{n}

$O_n$

n

$n$

ただし、そのような構造は型理論のいくつかのバージョンに追加される可能性があり、問題は次のようになります。この構造に集合論的解釈を与えるには、序数が必要ですか？ここで、建設的なセマンティクスに制限する場合、自然な考え方は、項のセットのサブセットであるこのタイプの「リアライザ」のセット、または同等に自然数によって各タイプを解釈しようとすることです。 $\lambda$ $\mathbb{N}$

この場合、序数が任意のカウント可能であることを示すのは簡単ですが、この序数は非常に急速に大きくなります。どれくらい早く？繰り返しますが、これは、関数を作成する際の自由度によって異なります。このような序数を構築する理論は、ウィキペディアが驚くべきことに多くのことを述べているラージ・カウンタブル・オーディナルの理論で説明されています。一般に、問題の序数がチャーチクリーネ序数よりも小さいことは、マシンのビジービーバー数を計算する機能を構築する非建設的な手段（たとえば、を許可しない限り）であることを示すのは簡単です $O_n$ $Beaver(n)$ $n$ 状態）。

ただし、建設的な理論では解釈を構築するために建設的な序数のみが必要であることを除いて、これはあまり意味がありません。ただし、もう少し言いたいことがあります。まず、によって非常に素晴らしいプレゼンテーションがあるティエリー・コクアンド詳細はということを他のすべてのタイプのためのエリミネーターが、が存在しない場合には $nat$ 、あなたが構築することができます正確にの手順が。 $O_1$ $\epsilon_0$

一般に、型理論の論理的な強さと、この方法で表すことができる最大の序数のサイズとの間には対応関係があるようです。この対応は序数分析の主題であり、60年代後半から長い間研究されてきましたが、今日でも検討中です（いくつかの驚くべき未解決の問題があります）。警告：ただし、主題は魅力的であるのと同じくらい技術的です。

お役に立てれば。

— コーディ
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Setのようなカテゴリで十分に機能する答えを見つけたと思います。これは、初期代数と終末代数の定理3.1.12です。Adamek、Millius 、およびMossによる調査です。

答えは、そのようなすべてのファンクタにとって、序数では十分ではないということです。それらは任意に大きくなります。

$F(X) = C_0\times(A_0 \rightarrow X) + C_1\times(A_1 \rightarrow X)\;+\;...\;+\; C_n\times(A_n \rightarrow X)$ $A_i$ $\alpha$ $\beta < \alpha$ $\beta$ $\alpha$ $\alpha$ $\alpha$

$\alpha$ $\alpha$ $\alpha$

$f : A_k \rightarrow F^\alpha(0)$ $f : A_k \rightarrow \bigcup_{i<\alpha} F^i(0)$ $A_k \rightarrow F^j(0)$ $j := \mathrm{sup}_{(a:A_k)} \text{``the i such that }f(a) \text{ fits into } F^i(0)"$ $j < \alpha$ $\alpha$ $|A_k| < \alpha$

$(A_k \rightarrow \bigcup_{i<\alpha}F^i(0)) \subseteq \bigcup_{j<\alpha} (A_k \rightarrow F^j(0))$ $k$

$+$ $\times$ $F(F^\alpha(0)) \subseteq \bigcup_{j<\alpha}F(F^j(0)) = \bigcup_{j<\alpha}F^j(0) = F^\alpha(0)$ $\alpha$

$A_k$

— アンドリュー洞窟
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