既知の最適な頂点カバーを持つグラフを生成する方法

最適な頂点カバーがわかるようにグラフを生成する方法を探しています。ノードまたはエッジの数に制限はなく、グラフが完全に接続されているだけです。

アイデアは、最適な頂点カバーを見つけるのが容易ではないグラフを生成し、その上で異なるヒューリスティックをテストできるようにすることです

私は紙見つけアーサー、J.＆Frendeway、既知の最適なツアーとJ.の生成進行巡回セールスマン問題、オペレーショナル・リサーチ学会誌、Volを。39、No。2（1988年2月）、pp。153-159、既知の最適なTSPを生成するための、悲しいかな私はそれにアクセスできません。

既知のアルゴリズムはありますか？

vznのコメントを回答に展開：CNF-SATから頂点カバーへの標準的な縮小は非常に簡単です：各項（変数またはその否定）の頂点を作成し、エッジによって各変数をその否定に接続し、各節のクリークを作成します、およびクリーク内の各頂点を、句内のいずれかの用語の頂点に接続します。既知の満足できる割り当てで充足可能性の問題から始める場合、既知の最適なソリューションで頂点カバー問題を与えます（割り当てによって与えられた頂点という用語を選択し、各節で1つ以外のすべての頂点を選択します。選択されていない節の頂点は、選択された用語の頂点に隣接しています）。

したがって、満足のいく割り当てがわかっているが、解決策を見つけるのが難しい充足可能性の問題を見つける必要があります。ハードな充足可能性の問題を生成する方法は数多く知られています（たとえば、充足可能性しきい値に近いランダムなk-SATインスタンスを生成します）が、満足のいく割り当てを知っているという追加の要件によって可能性が制限されます。ここでできることの1つは、因子分解などの暗号的に困難な問題から、別のレベルの削減を行うことです。つまり、2つの大きな素数pとqを選択し、pとqを2進数として乗算するブール回路を設定し、各入力（pとq）および各中間値の変数があるCNF式に変換します。回路内のワイヤ、各出力に適切な値を強制する節、ゲートの入力と出力が互いに一致するように強制する各ゲートの句。次に、このCNF式を頂点カバーに変換します。

より単純な戦略の場合、最初に3CNF式への満足のいく割り当てを選択してから、ランダムに句を生成し、割り当てと一致する句のみを保持してから、頂点カバーに変換します。節に一定の確率がある場合、これは次数ベースのヒューリスティックに対して脆弱です（選択した割り当てに一致する用語の頂点は用語の頂点よりも低い次数を持ちます）が、この欠点は節の確率を調整することで回避できます選択された割り当てに一致する条項の条項の数に応じて。おそらくこれはある種の多項式時間攻撃に対して脆弱ですが、頂点をカバーするのに自然なものではない可能性があるため、硬度をあまり保証していないにも関わらず、一連のテストインスタンスを作成できます。

私が見つけた最も近い参照は、スンダヴィシュワナサンによる頂点の近似カバーのハードインスタンスについてです。正確な問題のハードインスタンスを調べるための参照が表示されませんでした。

私のコメントのように、頂点カバーに還元可能なSATに対応するこのアプローチへの膨大な研究があります。

DEのコメント、ランダムインスタンスを生成し、標準アルゴリズムには難しいインスタンスを選択するというアイデアは、経験的/実験的研究アプローチ[1]、SATへの同様の研究のための標準操作手順で、私にとって完全に合理的です遷移点。[2]

ちなみに、「ハード」領域は、バイナリで指定されたランダムインスタンスの1の「密度」の臨界点にほぼ関連する他のNP完全問題[3,4,5]の場所です。頂点カバーの場合、これはおそらくエッジ密度に対応します。

ハードインスタンスのセットを構築できることを証明し、ハードインスタンスのみが基本的にP対NP問題と同等であることに注意してください。この同等性のより正式な分析は、Razborov / Rudich Natural Proofs論文にあります。

[1] 実験アルゴリズム

[2] SAT相転移研究

[3] NPハード問題の相転移

[4] NP完全問題の相転移：ムーアによる確率、組み合わせ論、およびコンピューターサイエンスへの挑戦

[5] ウォルシュによる相転移挙動