非構成的アルゴリズムの存在証明はありますか？

特定の複雑さで解決可能であることが証明されているが、実際にこの複雑さを達成するための既知のアルゴリズムがない問題への参照に出くわしたことを覚えています。

私は、これがどのように成り得るかについて心を包むのに苦労しています。アルゴリズムの存在の非構造的証明がどのように見えるか。

そのような問題は実際に存在しますか？彼らは多くの実用的な価値を持っていますか？

機能を考慮してください（ここから取得）

$\qquad \displaystyle f(n) = \begin{cases} 1 & 0^n \text{ occurs in the decimal representation of } \pi \\ 0 & \text{else}\end{cases}$

見た目にもかかわらず、は次の引数によって計算可能です。どちらか$f$

1. すべてのために発生する Nまたは$0^n$$n$
2. ある、そのように0 、kが生じるが0 K + 1ありません。$k$$0^k$$0^{k+1}$

私たちは、それは（まだ）しているかわからないが、我々はそれを知っていると$f \in F = \{f_\infty, f_0, f_1, \dots \}$

1. 及び$f_\infty(n) = 1$
2. 。$f_k(n) = [n \leq k]$

以来、fが計算される-しかし、我々は何を言うことができない fがあります。$F \subset \mathsf{RE}$$f$$f$

これはあなたの言っているとおりではないかもしれませんが、Seth PettieとVijaya Ramachandranの最適な最小スパニングツリーアルゴリズムは、ある意味では非構成的です。

線形（意味する）時間で最小全域木を計算する決定論的アルゴリズムがあるかどうかは未解決の問題です。PettieとRamachandranは、そのようなアルゴリズムが存在する場合、線形時間でMSTを計算するアルゴリズムを説明しています。$O(n+m)$

直感的に、そのアルゴリズムは、任意の減少にMST問題の-vertexインスタンスをO （N / K ）と小さいインスタンスO （K ）ここで、（例えば）、線形時間で頂点K = O （ログログログログログログログN ）。次に、ブルートフォース列挙によってk頂点グラフの最小スパニングツリーを計算する最適な比較ツリーを計算します。これがkで指数関数的に5倍の時間がかかるとしても、それはOだけです$n$$O(n/k)$$O(k)$$k = O(\log\log\log\log\log\log\log n)$$k$$k$時間。最後に、彼らはこの最適な決定木を使用して小さなインスタンスを解決します。$O(\log\log n)$

言い換えれば、PettieとRamachandranは、最適なMSTアルゴリズムを構築するアルゴリズムを構築することにより、間接的にのみ最適なMSTアルゴリズムを構築します。

以下に2つの例を示します。

1. Robertson-Seymourの定理を使用したいくつかのアルゴリズム。定理は、それぞれの場合に有限の障害物が存在すると述べていますが、そのような有限集合を見つける方法は提供していません。したがって、アルゴリズムが存在することは証明できますが、アルゴリズムの明示的なステートメントは、見つける方法がわからない有限の障害物セットに依存します。つまり、アルゴリズムがあることはわかっていますが、アルゴリズムを見つける方法は（まだ）わかりません。

2. より強力な例は、それほど自然ではありませんが、基本的にPEMまたは同様の非構成公理を使用しています。これは、アルゴリズムの建設的な存在が非建設的な公理を意味することを証明できるという意味でより強力です（Brouwerの弱い反例に似ています）。そのような例は、明示的なアルゴリズム（またはアルゴリズムを見つける方法）が現時点ではわからないというだけでなく、そうすることも望んでいないため、より強力です。

   例として、PEMを使用してアルゴリズムが存在することを証明することができますが、どのアルゴリズムと、建設的な方法で非構造的な公理を意味するかはわかりません。簡単な例を挙げましょう。

   停止問題は、固定された各チューリングマシンごとに簡単に決定できます（各TMは停止するか停止しないか、それぞれの場合に正しい答えを出力するTMがあります）が、解決せずに問題を正しく解決するアルゴリズムを見つける方法（均一なバージョンの）停止問題？

   より正式には、TM が与えられた場合、Mの停止問題を決定するTM H Tがあることを建設的に証明することはできません。より正式には、次のステートメントは建設的に証明できません。$M$$H_T$$M$

   $$\forall e\in \mathbb{N} \ \exists f\in \mathbb{N} \ \left[ (\{f\}( \ )=0 \land \{e\}\mathord{\downarrow}) \lor (\{f\}( \ )=1 \land \{e\}\mathord{\uparrow}) \right]$$

   ここで、はコードeのTM （TMの固定表現）、{ e } ↓は{ e }停止、{ f } ↑は{ f }が停止しないことを意味します。$\{e\}$$e$$\{e\}\mathord{\downarrow}$$\{e\}$$\{f\}\mathord{\uparrow}$$\{f\}$

はい。

（1）のある時点で、任意の有限ドメインサイズの複素重み付きカウンティンググラフ準同型二分法定理、Cai、Chen、およびLuは、多項式補間による2つのカウンティング問題間の多項式時間削減の存在のみを証明します。このようなアルゴリズムの実用的な価値は知りません。

arXivバージョンのセクション4を参照してください。問題の補題は補題4.1で、「最初の補題」と呼ばれます。

この証明を建設的にする1つの方法は、Lovaszの結果の複素加重バージョンを証明することです。

すべてのための、Z H（G 、W 、I ）= Z H（G 、W 、J ）同型が存在するときに限りFのGようにF （I ）= jで。$G$$Z_H(G, w, i) = Z_H(G, w, j)$$f$$G$$f(i) = j$

ここで、中の頂点であり、H、I及びJは、の頂点であるG、およびZ H（G 、W 、私は）からのすべての複素重み付けグラフ準同型にわたる和であるGにHこと添加制限付きiがマップされなければなりませんw。$w$$H$$i$$j$$G$$Z_H(G, w, i)$$G$$H$$i$$w$

（1）Jin-Yi Cai、Xi Chen、Pinyan Lu、複雑な値を持つグラフ準同型：二分法定理（arXiv）（ICALP 2010）

80年代後半の初期の結果：

• フェローとラングストン、「多項式時間決定可能性を証明するための非構成ツール」、1988

• ブラウン、フェローズ、ラングストン、「多項式時間の自己還元性：理論的な動機と実際の結果」、1989

2番目の項目の要約から：

ただし、グラフ理論の最近の基本的な進歩により、Pのメンバーシップを保証するために適用できる強力な新しい非構築ツールが利用可能になりました。これらのツールは、2つの異なるレベルで非構築的です。 、また、そのような決定アルゴリズムがソリューションの構築に役立つかどうかも明らかにしません。これらのツールの使用を簡単に確認して説明し、これらの新しいツールが適用されるときに約束された多項式時間決定アルゴリズムを見つける一見手ごわいタスクについて説明します。

私たちが示すことができる（疑わしい実用的な価値の）問題の無限の家族の例：

1. 各問題には、それを解決するアルゴリズムが存在します。
2. これらのアルゴリズムを構築する方法はありません（一般的に）。

言い換えれば、証明可能な非構造的証明。各チューリングマシンMの問題のファミリー（この質問から）：$M$

$L_{M}=\Bigl\{\langle M'\rangle \;\Big|\;\; L(M)=L(M') \text{ and } |\langle M\rangle| \geq | \langle M' \rangle| \Bigr\}$

1. 各について、これは有限集合であり、したがって決定可能です。$M$

2. $P$$M$$P(\langle M \rangle)$$L_M$$M$$M'$$|\langle M \rangle | \geq |\langle M' \rangle|$。ライスの定理では不可能。したがって、そのような建設的な証明 Pは存在しません。$P(\langle M \rangle)(\langle M' \rangle)$$P$

Mareike Massow、Jens Schmidt、Daria Schymura、およびSiamak Tazariによる、MohammadTaghi Hajiaghayiのチュートリアルの「二次元性理論およびアルゴリズムグラフマイナー理論講義ノート」から。

マイナークローズグラフの各プロパティは、禁止されているマイナーの有限セットによって特徴付けられます。

残念ながら、それらの結果は「本質的に」非構成的です。つまり、特定のマイナークローズグラフプロパティに対してどのマイナーを除外するかを一般的に決定できるアルゴリズムはありません。さらに、禁止されている未成年者の数は多くなる可能性があります。たとえば、トーラスに埋め込み可能なグラフでは、30,000以上の禁止されている未成年者が知られていますが、リストは不完全です。

[...]

マイナークローズグラフの各プロパティは、多項式時間で（キュービック時間でも）決定できます。

アルゴリズムLovászローカル補題 -「アルゴリズムLovászローカル補題は、限定された依存関係を持つ制約システムに従うオブジェクトを構築するアルゴリズム的な方法を提供します。しかし、補題は、どのように洞察を提供しないという点で非構成的です。悪い出来事を避けるために。」分布に関するいくつかの仮定/制限では、構築されたアルゴリズムはMoser / Tardos [1]によって与えられます。Lovaszの局所補題には、複雑性理論とさまざまな深いつながりがあるようです。[2]を参照してください

[1] Moser、Tardosによる一般的な LovászLocal Lemmaの建設的な証明

[2] Lov´aszローカル補題と充足可能性 Gebauer、Moser、Scheder、Welzl