ランダム化された増分ドローネ三角形分割アルゴリズムの最悪のケースは何ですか？

ランダム化された増分デローネー三角形分割アルゴリズムの予想される最悪の場合のランタイム（計算幾何学で与えられる）はことを知ってい。ワーストケースのランタイムがあることを暗示する演習があります。これが実際に当てはまる例を構築しようとしましたが、これまでのところ成功していません。 $\mathcal O(n \log n)$ $\Omega(n^2)$

それらの試みの1つは、ステップでポイント追加するときに、約エッジが作成されるようにポイントセットを配置して順序付けすることでした。 $p_r$ $r$ $r-1$

別のアプローチには、ポイント配置構造が含まれる場合があります。ステップでポイントを見つけるためにポイント配置構造内で取られるパスができるだけ長くなるようにポイントを配置してください。 $p_r$ $r$

それでも、これらの2つのアプローチのどちらが正しいとしても（どちらかと言えば）どちらが正しいかわからないので、いくつかのヒントを教えてください。

— テディル
ソース

いくつかの適切に選択された

について、すべての点を曲線

してみてください。

y = x^{r}

$y = x^r$

r

$r$

— Peter Shor

最初のアプローチは、次のように形式化できます。

LET 任意の集合である放物線の正のブランチ上の点。つまり、、いくつかの正の実数 $P$ $n$ $y=x^2$

P = {(t_{1}, t_{1}^{2}), (t_{2}, t_{2}^{2}), \dots, (t_{n}, t_{n}^{2})}

$P = \{ (t_1, t_1^2), (t_2, t_2^2), \dots, (t_n, t_n^2) \}$

t_{1}, t_{2}, \dots, t_{n}

$t_1, t_2, \dots, t_n$ 。一般性を失うことなく、これらのポイントに昇順のインデックスが付けられていると仮定します：

。

0 < t_{1} < t_{2} < \dots < t_{n}

$0 < t_1 < t_2 < \cdots < t_n$

主張： のドローネ三角形分割では、左端の点は、 1つおきの点の近傍です。 $P$ $(t_1, t_1^2)$ $P$

この主張は、に新しい点を追加すると、Delaunay三角形分割に新しいエッジが追加されることを意味します。したがって、帰納的に、ポイントを右から左の順序で挿入することにより、のDelaunay三角形分割を段階的に縮小すると、作成されるDelaunayエッジの総数はます。 $(t_0, t_0^2)$ $P$ $0 < t_0 < t_1$ $n$ $P$ $\Omega(n^2)$

$0<a<b<c$ $C(a,b,c)$ $(a,a^2), (b,b^2), (c,c^2)$

$C(a,b,c)$ $(t,t^2)$ $a<t<b$ $c<t$

$(a,b), (c,d), (e,f), (g,h)$

| \begin{matrix} 1 & a & b & a^{2} + b^{2} \\ 1 & c & d & c^{2} + d^{2} \\ 1 & e & f & e^{2} + f^{2} \\ 1 & g & h & g^{2} + h^{2} \end{matrix} | = 0

$\begin{vmatrix} 1 & a & b & a^2 + b^2 \\ 1 & c & d & c^2 + d^2 \\ 1 & e & f & e^2 + f^2 \\ 1 & g & h & g^2 + h^2 \\ \end{vmatrix} = 0$

(t, t^{2})

$(t,t^2)$

C (a, b, c)

$C(a,b,c)$

| \begin{matrix} 1 & a & a^{2} & a^{2} + a^{4} \\ 1 & b & b^{2} & b^{2} + b^{4} \\ 1 & c & c^{2} & c^{2} + c^{4} \\ 1 & t & t^{2} & t^{2} + t^{4} \end{matrix} | = 0

$\begin{vmatrix} 1 & a & a^2 & a^2 + a^4 \\ 1 & b & b^2 & b^2 + b^4 \\ 1 & c & c^2 & c^2 + c^4 \\ 1 & t & t^2 & t^2 + t^4 \\ \end{vmatrix} = 0$

4 \times 4

$4\times4$

\begin{matrix} (*) & (a - b) (a - c) (b - c) (a - t) (b - t) (c - t) (a + b + c + t) = 0 \end{matrix}

$(a-b)(a-c)(b-c)(a-t)(b-t)(c-t)(a+b+c+t) = 0 \tag{$*$}$

(t, t^{2})

$(t,t^2)$

C (a, b, c)

$C(a,b,c)$

t = a

$t=a$

t = b

$t=b$

t = c

$t=c$

t = - a - b - c < 0

$t=-a-b-c < 0$

0 < a < b < c

$0<a<b<c$

C (a, b, c)

$C(a,b,c)$

(t, t^{2})

$(t,t^2)$

C (a, b, c)

$C(a,b,c)$

- a - b - c < t < a

$-a-b-c<t<a$

b < t < c

$b<t<c$

◻

$\qquad\Box$

— ジェフ
ソース

ヒント（証明なし）がほしかったのに、ありがとうございました;）

— Tedil