メカニズム設計証明の理解

私はこの論文のオークション理論に関する証明の技術的な詳細に苦労してきました：http : //users.eecs.northwestern.edu/~hartline/omd.pdf

具体的には、定理2.5：真実のメカニズムに必要かつ十分な条件。

さらに具体的には、6ページに示されている証明の順方向。真の値をとして定義し、一般的な、場合によっては偽の値（入札など）をb iとして定義して、著者はさらに2つの追加を仮定します。数量、z 1およびz 2。$v_i$$b_i$$z_1$$z_2$

次に彼は、、b i = z 2と規定し、これにより、以前の論文に基づいた不等式が得られます。 $v_i = z_1$$b_i = z_2$

彼はまた、、b i = z 1と規定しており、これにより、以前の論文に基づいて、類似しているが異なる不等式が得られます。 $v_i = z_2$$b_i = z_1$

わかりました。次に、1つの不等式をもう1つの不等式から差し引き、その後の代数に基づいて希望する結果を導き出します。私はその減算が正当化される理由がわかりません-彼はまったく異なる（実際には反対の）仮定に基づく2つの不等式を減算しているようです。

この基本的なアプローチは他にも見たことがあると思います（ShohamとLeyton-Brownの本ですか？確認するために手元にありません）。これは一般的な考えのようですが、それを乗り越えられません。それが有効である理由を理解したり、欠けているものを説明したりできる人はいますか？

（私は3つの値、つまり真の値と2つの入札値b 1とb 2を想定して目的の結果を証明しようとしましたが、彼の目的の結果が得られませんでしたが、失敗もしました。しかし、必要に応じては、作者の道にそれをすることができません。しかし、私はまだそれを理解していません。）$v_i$$b_1$$b_2$

更新：ShohamとLeyton-Brownの本で 似たようなものを見たことがあります。まったく同じではありませんが、非常に似ており、同じ方程式と主題を扱います。定理10.4.3のケース1です。

真実のメカニズムの文脈から始めて、彼らが最初に真実を前提とと偽vが「私がとに基づいて支払いすることを導き出すvが、私はより少ないですかに基づいて支払いに等しいV 「私は、例えば、Pは、I（V I）≤ P I（V " I）。そして、彼らは反対の、真実を前提とV 「私と偽V 私の支払いはに基づいていること、および反対の結果を導き出すV " $v_i$$v_i'$$v_i$$v_i'$$P_i(v_i) \leq P_i(v_i')$$v_i'$$v_i$$v_i'$以下に基づいて支払いよりも、例えば、Pは、I（V " I）≤ P I（V I）。わかりました。 $v_i$$P_i(v_i') \leq P_i(v_i)$

そして、彼らはに基づいて支払いすることを保留とvは「私は、彼らが言っているかのように、同じでなければならないことP I（V I）≤ P I（V " I）とP I（V " I）≤ P I（v i）は、それらが異なるだけでなく、反対の仮定の結果である場合でも、同時に真です。$v_i$$v_i'$$P_i(v_i) \leq P_i(v_i')$$P_i(v_i') \leq P_i(v_i)$

$v_i$$v_i'$$v_i$$v_i$$v_i'$$v_i'$$v_i'$$v_i$

ポイントは、真実性が同じメカニズムに多くの異なる不等式を同時に課すということです。エージェントが持つ可能性のあるすべてのタイプと、エージェントが考慮する可能性のあるすべての偏差です。それらのすべてが保持します。この証明はこれらの不等式の2つだけを使用します

次の命題が欲しいと思います。

$V$$A$$f:V^n\to A$$p_1,\dots,p_n:V^n\to\mathbb{R}$$i,x_i,y_i,v_{−i}$

$$x_i (f(x_i , v_{−i})) − p_i (x_i , v_{−i}) \geq x_i (f(y_i , v_{−i})) − p_i (y_i , v_{−i}).$$ $i,v_i,v'_i,v_{-i}$ $$v_i(f(v_i,v_{-i}))-v_i(f(v'_i,v_{-i}))\geq v'_i(f(v_i,v_{-i}))-v'_i(f(v'_i,v_{-i})).$$

$x_i=v_i$$y_i=v'_i$

$$v_i (f(v_i , v_{−i})) − p_i (v_i , v_{−i}) \geq v_i (f(v'_i , v_{−i})) − p_i (v'_i , v_{−i}).$$ $x_i=v_i$$y_i=v'_i$ $$v'_i (f(v'_i , v_{−i})) − p_i (v'_i , v_{−i}) \geq v'_i (f(v_i , v_{−i})) − p_i (v_i , v_{−i}).$$

この命題のメカニズム設計の解釈は、すべてのインセンティブ互換性（つまり、戦略証明、つまり真実）のメカニズムには「弱い単調性」があるということです。

何らかの理由で、真のビッドと嘘を参照することで議論するのが慣習です。このコンテキストでは、「true」と「lie」は「x」と「y」のような単なる変数名です。真のビッドとライとの間に正式な違いがないため、同じ名前を使用して別々の引数で異なるものを参照することは問題ありません。