ランダム性はP内で何かを購入しますか？

ましょうの時間で実行されているアルゴリズムを無作為有界両面エラーを有する決定問題のクラスである。 $\mathsf{BPTIME}(f(n))$ $O(f(n))$

がなどの問題を知っていますか？存在しないことが証明されていますか？ $Q \in \mathsf{P}$ $Q \in \mathsf{BPTIME}(n^k)$ $Q \not \in \mathsf{DTIME}(n^k)$

この質問はcs.SEでここに尋ねられましたが、満足のいく答えは得られませんでした。

（1）BPP（f（n））は通常、BPTIME（f（n））と表記されます。（2）計算の複雑さの設定では、これは開かれていると思います。（クエリの複雑さと通信の複雑さの設定で多くの例が知られています。）（3）その存在がないことがすでに証明されていれば、P = BPPであることはすでにわかっています。

— 伊藤剛

ちなみに、cs.stackexchange.comの質問では、BPTIMEとZPTIMEの関係について誤解があり、満足のいく回答が得られなかった理由の一部である可能性があります。

— 伊藤剛

@TsuyoshiItoありがたいことに、存在しないことが証明された場合、を知っていることに同意しません問題に設定を制限しています。たぶん、、一般的に、何かが足りませんか？とについての私の誤解を指摘してもらえますか、多分私は実際に満足のいく答えを逃したかもしれません

P = B P P

$P=BPP$

P

$P$

B P T I M E (n^{k}) \cap P = D T I M E (n^{k})

$BPTIME(n^k) \cap P = DTIME(n^k)$

B P T I M E (n^{k}) \neq D T I M E (n^{k})

$BPTIME(n^k) \neq DTIME(n^k)$

B P T I M E

$BPTIME$

Z P T I M E

$ZPTIME$

— 。--aelguindy

あなたの質問は、あなたが問題QをP内に限定することを言っているわけではありません。それがあなたの意図であるなら、質問を編集してください。

— 伊藤剛

距離関数へのクエリがほとんどない有限距離空間の1中央値を近似するために、ランダムポイントは、期待値で2の近似値を与え、確率が高い（2 + eps）近似値を与えます。しかし、距離関数を回クエリする決定論的アルゴリズムは、4近似よりも優れた結果を出すことはできません。[ チャン2013 ]

o (n^{2})

$o(n^2)$

— ニールヤング14

回答:

別の例は、多面体の体積を高次元で推定することです。ボリュームを指数関数に近づけるための決定論的戦略には無条件の下限がありますが、問題にはFPRASがあります。

更新：関連論文は次のとおりです（PDFへのリンク）：

I.バラニーとZ.フレディ。ボリュームの計算は困難です、離散および計算幾何学2（1987）、319-326。

— スレシュ・ベンカット
ソース

無条件の下限の参照を提供できますか？

— T ....

参照を追加しました。

— スレシュヴェンカト

問題：配列は、 1と 0で構成されています。が1になるようなを見つけます。 $A[1..2n]$ $n$ $n$ $i$ $A[i]$

「どの番号が存在するか」を照会できますか？各クエリには一定の時間がかかります。 $A[i]$

解決策：ランダム化アルゴリズム：ランダムインデックスを選択し、が1 かどうかを確認します。予想されるクエリの数は2ですが、決定論的なアルゴリズムは少なくともクエリを作成する必要があります。したがって、ランダム化された上限は、このモデルの決定論的な下限よりも厳密に優れています。 $i$ $A[i]$ $n$

これは、剛がコメントで言及しているクエリの複雑さの例です。

— ジャガディッシュ
ソース

決定論的アルゴリズムは、最悪の場合、少なくともクエリを作成する必要があります。

n

$n$

— argentpepper

「現在、NPの問題（Pは言うまでもありません）の非自明な下限の証拠がわからない」とはどういう意味ですか？

— クリストファーアーンスフェルトハンセン

おそらく、「非自明」という言葉をだらだらと使用したのでしょう。私は「現在、我々はの下限無条件で証明できない意味ため SATまたはNPのいずれかの問題」を。あれは正しいですか？

Ω (n^{k})

$\Omega(n^k)$

k > 0

$k>0$

— ジャガディッシュ

まあ、SATのような「いい」問題ではないかもしれません。しかし、時間階層の定理からの他の問題にはこのような下限があることを忘れないでください。そして、問題は「いい」問題ではなく、複雑さのクラスに関するものです。

— クリストファーアーンスフェルトハンセン

ああ、そう。OPは自然の問題に興味があると思いました。回答を編集しました。

— ジャガディッシュ

[0,1]にペイオフがあるゼロサム行列のペイオフ行列が与えられた、加算内でゲームの値を推定します。 $n\times n$ $\epsilon$

この問題には、時間で実行されるランダム化アルゴリズムがあり、（おそらく）決定論的アルゴリズムは一致しません[ GK95 ]。 $O(n\log^2(n)/\epsilon^2)$

決定論が難しい効率的で単純なランダム化アルゴリズムも参照してください。

— ニール・ヤング
ソース