UG硬度とは何ですか？また、ユニークなゲーム予想に基づいたNP硬度とどのように違いますか？

独自のゲーム推測に依存する、多くの近似不可能な結果があります。例えば、

ユニークなゲームの推測を仮定すると、定数R > R _GWの因子R内で最大カット問題を近似することはNP困難です。

（ここでR _GW = 0.878…は、Goemans–Williamsonアルゴリズムの近似比です。）

ただし、「UG-hard」という用語を次のように使用することを好む人もいます。

定数R > R _GWの場合、因子R内で最大カット問題を近似することはUG困難です。

後者は前者の単なる短縮形ですか、それとも異なるステートメントを意味していますか？

この回答の以前のバージョンは、元々NicosMによる「NPIの問題であるユニークゲームの結果」という質問に対する回答として投稿されました。彼が尋ねたいことには答えなかったことが判明したので、私はそれをこの質問に移しました。

短い答え：それらは異なる声明を意味します。後者は前者を意味しますが、前者は必ずしも後者を意味するわけではありません。

長い答え：ユニークなゲームの問題は次の約束の問題であることを思い出してください。

パラメータを持つユニークなゲームの問題K ∈ℕとε、δ > 0（1 - ε > δ）
インスタンス：A 2プレイヤー1ラウンドユニークなゲームGのラベルサイズで、K。
Yes-promise：Gの値は少なくとも1- εです。
約束なし：Gの値は最大でδです。

ユニークなゲームの推測の状態：

ユニークなゲーム予想。 すべての定数εおよびδについて、パラメーターk、ε、およびδを持つ一意のゲーム問題がNP完全になるような定数kが存在します。

次の形式の結果を考慮してください。

（1）ユニークなゲーム推測を仮定すると、問題XはNP困難です。

（Xの例は、一定の係数R > R _GW内で最大カットを近似する問題です。）

フォーム（1）の結果のほとんど（すべてではないにしても）は、実際に次の事実を証明します。

（2）定数εおよびδが存在するため、定数kごとに、パラメーターk、ε、およびδを持つ一意のゲーム問題がXに還元可能です。

（2）が（1）を含むことを確認するのは簡単です。ただし、（2）は（1）よりも多いことを意味します。たとえば、ある日、「NP完全」が「GIハード」に置き換えられたユニークなゲーム予想のバリアントを証明できると仮定します。そのXもGIハードです。（1）これは意味しません。このため、一部の人々は、ステートメント（1）が定理を述べる最良の方法ではないと考えているのです。

（2）は証明された内容のより正確な記述ですが、明らかに一口です。これが、人々がその省略表現を思いついた理由です：「問題XはUG困難」は（2）の省略表現です。