受け入れ戦略を備えたBüchiオートマトン

問題

してみましょう言語認識、ビュッヒオートマトンも。私たちは、仮定、以下の意味で受け入れ戦略を持っている：機能がありのパイロットの実行に使用することができます。次の条件でこれを形式化します。 $A=\langle \Sigma, Q, q_0,F,\Delta\rangle$ $L\subseteq\Sigma^\omega$ $A$ $\sigma:\Sigma^*\to Q$ $A$

$\sigma(\epsilon)=q_0$
すべてのおよび、 $u\in\Sigma^*$ $a\in\Sigma$ $(\sigma(u),a,\sigma(ua))\in\Delta$
すべてのについて、によってパイロットされる実行が受け入れられます。つまり、シーケンスは無限に多くの要素があります。 $w=a_0a_1a_2\dots\in L$ $\sigma$ $\sigma(\epsilon),\sigma(a_0),\sigma(a_0a_1),\sigma(a_0a_1a_2),\dots$ $F$

条件を受け入れるために、は将来について何も推測することなく、その言語の任意の単語を受け入れることができます。 $A$

次に、これらの仮定の下で、遷移を削除するだけでを決定できるのは本当ですか？つまり、現在の状態と文字のみに応じて、常に次の遷移を選択できますか？この件に関する参照はありますか？同じ質問をco-Büchiオートマトンで、より一般的にはパリティオートマトンで行うことができます。 $A$ $A$

知られていること

ここにいくつかの部分的な結果があります。

最初に、を同じ残差を持つ状態間の非決定的な選択に制限できます。確かに、あればから受け入れた言語であり、選択することはできません受諾戦略オーバーいくつかの点で、存在する場合。 $\sigma$ $L(q)$ $q$ $q_1$ $q_2$ $w\in L(q_2)\setminus L(q_1)$

残りの選択肢は重要であることに注意してください。したがって、直感にもかかわらず、これは非決定性を取り除くのに十分ではありません。これは、良好な残差に無限に留まることができるためです（つまり、単語の残りは残差にあります）が、無限に多くのBüchi状態が見られないため、単語を拒否します。これが問題の主な難点です。ある時点で致命的なミスをせずに、無限の実行が間違っている可能性があります。

第二に、場合、つまりすべての単語がによって受け入れられる場合、問題は解決されます。この場合、は、プレイヤーIが入力文字を選択し、プレイヤーIIがトランジションを選択するBüchiゲームとして見ることができます。次に、Büchiゲームの位置決定性を使用して、プレーヤーIIの位置戦略を抽出できます。この引数は、パリティオートマトンのより一般的な場合でも機能します。この問題の難しさは、いくつかの単語がにないという事実に由来し、この場合、戦略はどんな振る舞いを持つことができます。 $L=\Sigma^\omega$ $A$ $A$ $L$ $\sigma$

3番目に、仮定の下で、言語が状態オートマトンによって目撃された決定論的ブッチ言語のクラスにあるという証拠です。このことを意味することを通知任意とすることができません例えば-regular言語、もし、無戦略条件に合致が存在することができます。 $L$ $2^Q$ $L$ $\omega$ $L=(a+b)^*a^\omega$ $\sigma$

最初の発言に従って遷移を制限することから始めます。私たちができる唯一の選択は、残余言語に影響を与えません。が存在するため、最大残差を持つ後継者のみが存在する必要があります。 $\sigma$

次に、を次の方法でします。の部分集合であるオートマトンが、毎回ビュッヒ状態コンポーネントに表示されるが、他のすべての状態が構成要素から除去することができ、我々はシングルトンから再び開始。次に、ます。が決定論的なBüchiオートマトンであることを確認できます。 $A'=\langle \Sigma, 2^Q, \{ q_0\},F',\Delta'\rangle$ $A'$ $A$ $q$ $\{ q\}$ $F'=\{\{ q\} : q\in F\}$ $A'$ $L$

最後に、2番目と3番目の発言をまとめると、プレイヤーがプレイヤーを選択し、プレイヤーIIがトランジションを選択するゲームプレイヤーIIの位置戦略を使用して、常に有限のメモリ戦略取得できます。と勝った場合いつでも受け付け受け入れます。 $\sigma$ $A\times A'$ $A$ $A$ $A'$

— デニス
ソース

遷移が削除された（決定的）オートマトンのをます。してみましょうで言葉も。次に、条件によっては実行であり、受け入れているため、です。逆に、実行の受け入れは、特に受け入れ実行であり、したがってです。

A_{σ}

$A_\sigma$

w = w_{0} w_{1} \dots

$w=w_0w_1\cdots$

L

$L$

σ (w_{0}) σ (w_{0} w_{1}) \dots

$\sigma(w_0)\sigma(w_0w_1)\cdots$

A_{σ}

$A_\sigma$

L \subseteq L (A_{σ})

$L\subseteq L(A_\sigma)$

A_{σ}

$A_\sigma$

A

$A$

L (A_{σ}) \subseteq L

$L(A_\sigma)\subseteq L$

— シルヴァン

@Sylvain：どの遷移が削除されますか？

— デイブクラーク

戦略使用される遷移に制限されたオートマトンと呼ぶと仮定しています。問題は、が決定論的であるという保証がないことです。たとえば、およびと、は決定論的ではありません。

A_{σ}

$A_\sigma$

A

$A$

σ

$\sigma$

A_{σ}

$A_\sigma$

σ (a) = σ (ϵ) = q_{0}

$\sigma(a)=\sigma(\epsilon)=q_0$

σ (a a) = q_{1}

$\sigma(aa)=q_1$

A_{σ}

$A_\sigma$

— デニス

mathOverflowにも投稿しています。前の作業の詳細はこちらmathoverflow.net/questions/97007/…、大丈夫ですか？

— デニス

一般に、十分な時間が経過しても回答が得られない限り、クロス投稿は許可されません。この質問にはオープンな賞金があるので、私は数日待ちます。他の投稿を削除して、数日で開くことができます。（また、他の投稿はこの投稿にリンクする必要があります。）

— デイブクラーク

答えは「いいえ」であり、このペーパーにはいくつかの反例があります。

— デニス
ソース

更新はthxですが、あいまいです！どんなチーム？彼らは公開しましたか？予定している？どうやって聞いたの？どうやって見つけたの？彼らがそれを探していた理由はありますか？これは理論上の好奇心なのか、それともより大きな問題やアプリケーションに関係しているのか？など

— vzn

詳細については、この回答を参照してください：cstheory.stackexchange.com/a/24918/8953

— Denis

-1

あなたが指摘したように、非決定的および決定的Buchiオートマトンは異なる言語を受け入れます。Buchiオートマトンの最も有名な「決定」は、Safraによって与えられます（Webで「Safraの構成」を検索してください。ここに登場するドキュメントは次のとおりです。www.cs.cornell.edu/ courses / cs686 / 2003sp / Handouts / safra.pdf）。手順は非常に複雑で、指定されたBuchiオートマトンを決定論的Rabinオートマトンに変換する必要があります（F状態を「受け入れ」、G状態を「拒否」します。\ sigmaはGに有限の状態しかありません）。Safraの構築には、単にトランジションや通常のサブセット構築を削除するだけではありません。

— サディープ
ソース

私はこれを知っています、問題はブッヒ・オートマトンの特別なクラス、すなわち受け入れ戦略

を認めるものです。このクラスが決定論的なBüchiオートマトンのクラスと同じパワーを持つことを既に示し、簡単な決定手順について説明します（「既知のもの」セクションで）。推測では、このクラスにはより単純な決定手順があり、これはいくつかの遷移を削除するだけです。

σ

$\sigma$

— デニス