マスター方程式と演算子の合計フォーム

私は量子情報の人というよりも量子光学の人で、主にマスター方程式を扱っています。私は演算子和形式に興味があり、シミュレートしている小さな量子システムのこの形式のエラーを導き出したいと思います。

キャッチ：量子システムは、正弦関数でモデル化された外部（古典的）場によって駆動され、減衰率が低いため、この時間依存性を排除するために回転波近似を行うことはできません。積分によってマスター方程式を数値的に解く必要があり、時間での各積分の結果は$t$これらの誤差を把握するのに十分な情報ではないため、ベクトル化された密度で動作しているスーパー演算子行列を回復するためにいくつかの作業を行う必要があるマトリックス。すなわち、マスター方程式に1のエントリが1で残りがゼロのベクトル化密度行列を供給し、特定の時間ような行列を作成し$\tau$ます。私はここで正しい軌道に乗っていますか（健全性チェック）？より明示的に、の位置に1つのエントリと密度行列のベクトル化（）は、列ベクトルですので形である、私は、Jで、 T = 0時間に進化してきたこと τ行列次いで、より密度行列のベクトル形式取る T = 0に対して T = τがで与えられる M = Σ I 、Jの V E C（ρ I 、J 、T = 0$\mathrm{vec}(\rho_{ij,t=\tau})$$i,j$$t=0$$\tau$$t=0$$t=\tau$。$\mathbf{M}=\sum_{i,j}\mathrm{vec}(\rho_{ij,t=0})\mathrm{vec}(\rho_{ij,t=\tau})^\dagger$

質問：このスーパーオペレーターが$\mathbf{M}$、どのように私はのオペレータ和同等のためのクラウス演算子を取得することができます M有用な形態でありますか？すなわち、問題のシステムはキュービットまたはキュートリットであり、別のキュービットまたはキュートリットです。可能であれば、各チャネルのスピンマトリックスのテンソル積の形で演算子sumを実行できるようにします。$\mathbf{M}\,\mathrm{vec}(\rho_0)=\mathrm{vec}(\rho_\tau)$$\mathbf{M}$

サイド質問：あるチェ行列？$\mathbf{M}$

最後のメモ：私はピンジャが提案した論文を使用したように、ピンジャへの承認を授与しました。以下に詳細を記入した回答を自分で提供しました。

私は修士論文で非常によく似た問題に取り組みました。そこでは、散逸環境で駆動されたキュービットの非マルコフ力学を研究しました。私が得たマスター方程式が完全にポジティブであることを確認することに興味がありましたが、これはあなたの問題の一面にすぎません。RWAが作成されていない場合、この質問は非常に重要であることが判明しましたが、Refを使用して結果を得ることができました。[ J Mod。最適化 54、1695（2007） ]およびキュービットが環境と弱く結合しているという事実を利用しています。ドラムを叩いて、Ref。これらの結果のいくつかを紹介する記事に、[P。ハイッカとS.マニスカルコ、Phys。Rev. A 81、052103（2010）]、あなたはそれが役に立つと思うかもしれません。

マルコフ過程としての量子力学への答え 、特にカールトン洞窟のオンラインノート「完全にポジティブなマップ、ポジティブなマップ、およびリンドブラッド形式」に与えられた参考文献は、質問に答えるのに役立つ物理的アイデアと数学ツールを調査します。

キーポイントは、「有用な形式の相当する演算子和のクラウス演算子を取得するにはどうすればよいか」という質問に関連付けられます。大規模な量子システムの場合、一般的なスーパー演算子Mはアルゴリズム的に圧縮可能な形式を持ちません。さらに、クラウス表現は一意ではなく、私の（専門家ではない）知識の限りでは、特定のクラウス表現を見つけるための一般的かつ効率的な手順はありません$M$$M$、「有用な形式」（任意の基準による）を持つ Mのフォームが「有用」であることを示しています）。量子分離を決定することはNP困難であることはいても、何の効果的な、一般的な表現・発見アルゴリズムが存在しないことを示唆している$M$$M$ 全体が数値的に与えられます。

進歩を遂げるには、ヒューリスティックな質問をするのが役立ちます。「特定のスーパーオペレーターの特別な点は、有用な対称性を持つリンブラッド式ジェネレーターのセットを展示したり、ヒルベルト状態空間で互換性のある圧縮フローを生成したりできますか？これらのリンドブラディアン特性は、がスパース、因数分解、またはアルゴリズムで圧縮可能な表現を持つ自然なヒルベルト基底に関連付けられていますか？」$M$

「アルゴリズムクランクを回す」ことでこれらのような質問に効率的に答えることができれば、量子物理学はそれほど興味深いテーマではありません。:)

あなたが探しているのはこれだと思います：The Real Density Matrix。さまざまなスーパーオペレーター表現間で変換するためのレシピを提供します（Paulisのテンソル積ベースの使用を含む）。結果を利用した詳細な量子プロセストモグラフィー実験はこちらです。量子フーリエ変換の量子プロセストモグラフィー。より一般的には、ハヴェルはここで最小のクラウス表現に変換するためのアルゴリズムを 導き出しました。

${\rm vec}(\rho)$$\rho$${\rm vec}(|i\rangle\langle j|)=|i\rangle\otimes|j\rangle$${\rm vec}(|i\rangle\langle j|)=|j\rangle\otimes|i\rangle$${\rm col}(\rho)$${\rm \bf M}^{\rm row}{\rm vec}(\rho_0)={\rm vec}(\rho_t)$${\rm \bf M}^{\rm col}{\rm col}(\rho_0)={\rm col}(\rho_t)$ are the "Choi" matrix. The Choi matrix is defined as

$${\rm\bf C} = \sum_{i,j} ({\rm\bf 1}\otimes |i\rangle\langle j|) {\rm \bf M}^{\rm row} (|i\rangle\langle j|\otimes {\rm\bf 1}),$$ or, equivalently $${\rm\bf C} = \sum_{i,j} (|i\rangle\langle j|\otimes {\rm\bf 1}) {\rm \bf M}^{\rm col} ({\rm\bf 1}\otimes |i\rangle\langle j|).$$ Note that since all these representations are defined in terms of the basis $\{|i\rangle\langle j|\otimes |k\rangle\langle l|\}$, the transformation between them is just a permutation.

As Pinja noted, a paper by Andersson et al. (arXiv)(DOI) has been especially useful. The paper goes into a great deal of detail, and I finally sat down today to take a proper look at it. As an example problem, I picked two qubits with an exchange interaction to check this which is a minimal version of what I'm considering. To begin, the master equation is given by

$$\dot\rho = \Lambda(\rho).$$

The method requires that basis operators of the system are chosen. It is convenient to give these in terms of the Pauli matrices in the case of two qubits, but for a qutrit one would employ the Gell-Mann matrices. Defining $\sigma_i = \mathbf{1},\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z$ for each qubit, this system has a basis built up of the tensor products of these with a factor of $1/2$ for normalisation, yielding 16 operators $G_i$ e.g. $G_5 = G_{xx} = (\sigma_x\otimes\sigma_x)/2$. Sticking with Hermitian operators keeps things neat as well, since some daggers can be neglected.

A special matrix is now composed called $L$, which is related to the master equation.

$$L_{n,m} = \mathrm{Tr}[G_n\Lambda(G_m)].$$

If we are dealing with the master equation as a matrix acting on a vectorised density operator as discussed in the question, then this can be expressed as

$$L_{n,m} = \mathrm{vec}(G_n)^\dagger\,\Lambda\,\mathrm{vec}(G_m),$$

which allows L to be derived in a single matrix equation, but that's getting a little off topic.

In the sample case I considered, $L$ is does not contain time varying terms, so it may be exponentiated to get a new matrix $F$, which is related to the solution of the master equation $\phi$

$$F(t) = \exp(Lt).$$

$F$ can be used to get a Choi matrix $S$, which is exactly what I need. At this point, a basis needs to be chosen for the future Krauss operators. I'm quite happy with the Pauli operators so I'll stick with those for this next equation,

$$S_{a,b} = \sum_{n,m}F_{m,n}\mathrm{Tr}[G_nG_aG_sG_b].$$

Finally, the wonderful part.

$$\rho_t=\phi_{n,m}(\rho_0,t) = S_{n,m}(t)G_n\rho_0 G_m^\dagger$$

As you can see, $S$ is a matrix of weights for a sum of superoperators in a useful basis that I can select. This has been referred to as the process matrix (arXiv)(DOI) which is unique to a process in a given basis. In the sample case, in which the master equation has no time dependent terms on the RHS, the solution can be directly verified by representing $\Lambda$ in matrix form and exponentiating it to get $\phi(t)=\exp(\Lambda t)$.

This works in the time independent case for quits and qutrits as expected. I need to check that this works in the case of time dependence.