量子ゲートセットの普遍性をチェックするための決定可能性/アルゴリズム

量子ゲートの有限セット与えられた場合、がユニバーサルゲートセットであるかどうかは（計算理論的に）決定可能ですか？一方では、「ほぼすべての」ゲートセットは普遍的であり、他方では、非ユニバーサルゲートセットはまだよく理解されていません（特に、すべての非ユニバーサルゲートセットが古典的にシミュレート可能かどうかは不明です）。そのため、普遍性をチェックするための明示的なアルゴリズムを与えることは簡単ではないことを想像します。 $\mathcal{G} = \{G_1, \dots, G_n\}$ $\mathcal{G}$

quantum-computing

— マルシン・コトウスキー
ソース

質問を明確にできますか？ジョーの答えは、固定数のキュービットがあり、すべてのゲートがそれらに作用することを前提としていますが、普遍性のために、ゲートがキュービットの任意のサブセットに作用することを想定しています。たとえば、CNOT +すべての1キュービットゲートは、1キュービットゲートが最初のキュービットにのみ作用し、CNOTがキュービット1からキュービット2にのみ作用する場合、普遍的ではありません。後者の場合、多くのキュービット普遍性を得るために。その場合、答えは不明かもしれません。

@DanielGottesman：私の答えの限界に同意します。確かに、後者の場合、次のように決定できないと考えています。無限の量子ビット格子上でセルオートマトンを取得し、それを使用して停止問題をエンコードします（この更新ユニタリ

と呼びます）。次に、ユニバーサルQCA（更新ユニタリ

）で2番目のラティスを取得します。新しいユニタリ

を定義できます

添字、

U_{1}

$U_1$

U_{2}

$U_2$

C U_{2} = | 0 ⟩ ⟨ 0 |_{H} \otimes I + | 1 ⟩ ⟨ 1 | \otimes U_{2}

$CU_2 = |0\rangle\langle0|_H\otimes I + |1\rangle\langle1|\otimes U_2$

H

$H$

設定されたキュービットを示します

第セルラオートマトン停止IFF。

| 1 ⟩

$|1\rangle$

— ジョーフィッツシモンズ

したがって、ゲート

は、最初のチューリングマシンが停止した場合にのみユニバーサルであり、したがって決定できません。

C U_{2} \times U_{1}

$CU_2 \times U_1$

— ジョーフィッツシモンズ

ハミルトニアンの場合、ゲートではなく答えはイエスです。リー代数の独立した要素を列挙するだけです。リー代数はリーブラケット演算子を追加したベクトル空間であるためです。スペースは有限であるため、有限の基礎を持ち、リーブラケット操作の下で閉じているか開いているかを簡単に確認できます。直交演算子のすべてのペアのリーブラケットを単純にチェックすることは、空間の次元の時間多項式で行うことができ、適切な演算子基底はGram-Schmidtメソッドによって見つけることができます。

ゲートの場合、実際には無限小にまっすぐに頼るのと同じオプションはなく、必要な無限小ジェネレータを任意にうまく近似できるように、非合理的な固有値を持つゲートを構築する必要があります。これを行うには比較的簡単な方法があると思いますが、すぐにはわかりません。

いずれにせよ、ゲートのログを取得して、指数化されたときにそれらを生成する演算子のセットを取得し、これらが完全なリー代数を生成したかどうかをチェックすることで、普遍性の必要十分ではない単純な基準が提供されます。

— ジョー・フィッツシモンズ
ソース

ペアのみをチェックする必要があるのはなぜですか？

— アレックス 'qubeat'

@AlexV：Lieブラケットは2つの入力で動作するため。新しい線形独立演算子を生成するたびに、直交演算子を生成し、閉包するまで繰り返します。

— ジョーフィッツシモンズ

[\dots [H_{k}, H_{j}], H_{l}], \dots]

$[\ldots[H_k,H_j],H_l],\ldots]$

@AlexV：する必要はありません。それはベクトル空間なので、ベクトルは与えられた部分空間に直交しますが、その部分空間の基底に直交する場合に限ります。

— ジョーフィッツシモンズ

おそらく私たちはさまざまなことについて話している-あなたが話しているベクトル空間？ゲートによって生成された部分代数は最初からわからない-与えられたハミルトニアンからそれを構築して、リー代数全体をチェックする必要がある。

— アレックス 'qubeat'