FOLを定義するときになぜ評価するのですか？

一次論理のセマンティクスを定義するためになぜ評価が必要なのですか？なぜそれを文に対して定義し、式の置換も（彼が期待する方法で）定義しないのですか？それで十分でしょう：

$$M \models \forall x. \phi \iff \text{for all }d\in \mathrm{dom}(M),\ M \models \phi[x\mapsto d]$$

の代わりに

$$M,v \models \forall x. \phi \iff \text{for all }d\in \mathrm{dom}(M),\ M, v[x\mapsto d] \models \phi$$

あなたが提案するように文章だけを使用して満足度を定義することは完全に可能であり、実際、それはかなり長い間、標準的なアプローチでした。

この方法の欠点は、意味オブジェクトを構文に混在させる必要があることです。モデル内の文の満足度の帰納的定義を作成するために するには、 Mの元の言語の文に対してそれを定義するだけでは不十分です。最初に、 Mのドメインのすべての要素の個々の定数を使用して言語を拡張する必要があります。次に、拡張された言語の文の満足度を定義できます。これが、このアプローチが廃止された主な理由だと思います。評価を使用する場合、元の言語の構文式とそれらをモデル化するために使用される意味論的エンティティとの間の明確な概念上の区別を維持できます。$M$$M$$M$

閉じた式の意味は、真理値または⊤です。自由変数を含む式の意味X集合上の範囲Aは、ある関数からA真理値に。関数A → { ⊥ 、⊤ }は完全なブール代数を形成するので、その中の1次論理を調べることができます。$\bot$$\top$$x$$A$$A$$A \to \lbrace \bot, \top \rbrace$

同様に、閉じた項はある領域Dの要素を示しますが、自由変数を含む項は、要素が変数の値に依存するため、関数D → Dを示します。$t$$D$$D \to D$

したがって、完全なブール代数D n → { ⊥ 、⊤ }の自由変数x 1、… 、x nを使って式を解釈することは自然です。ここで、Dは変数。この完全なブール代数の解釈を評価の観点から表現するかどうかは、技術的な問題です。$\phi(x_1, \ldots, x_n)$$x_1, \ldots, x_n$$D^n \to \lbrace{\bot, \top\rbrace}$$D$

数学者は一般に自由変数について混乱しているようです。彼らは、それらが暗黙的に普遍的に定量化されている、またはそのようなものであると考えています。この原因は、その旨のメタ定理である証明可能な場合に限り、その普遍的な閉鎖です∀ X 。ϕ （x ）は証明可能です。しかし、式には証明可能性以上のものがあります。例えば、φ （xは）ではない、一般的に相当∀ X 。ϕ （x ）なので、これら2つの式が交換可能であると偽ることはできません。$\phi(x)$$\forall x . \phi(x)$$\phi(x)$$\forall x . \phi(x)$

要約する：

• 少なくとも通常の1次論理では、自由変数の数式は避けられません。
• 自由変数のある式の意味は真理関数です。
• したがって、セマンティクスでは、完全なブール代数を考慮する必要があります。これは、評価が行われる場所です。$D^n \to \lbrace\bot, \top\rbrace$
• 式の普遍的な閉包は元の式と同等ではありません、
• 関数のコドメインと関数を同一視するのが誤りであるのと同じように、式の意味をその普遍的な閉包の意味と同一視することは誤りです。

それが「言うことより自然だという理由だけで trueの場合であるxがあるπ」（ある送信評価に、Xへのπ） "より、X > 2は、私たちが代わりとき真であるπ（数自体ではなく、ギリシャ語を文字）for x "。技術的にはアプローチは同等です。$x > 2$$x$$\pi$$x$$\pi$$x > 2$$\pi$$x$

私はアレクセイの答えを強化したいと思います、そしてその理由は最初の定義が技術的な困難に苦しんでいるということであり、2番目の（標準の）方法がより自然であるというだけではないことを主張します。

Alexyのポイントは、最初のアプローチ、つまり：

$M \models \forall x . \phi \iff$すべてのための：M ⊨ φ [ X ↦ D $d \in M$$M \models \phi[x\mapsto d]$

構文とセマンティクスが混在しています。

たとえば、Alexeyの例を見てみましょう。

${(0,\infty)} \models x > 2$

そして、それを示すために、我々はショーに持っているものの一つである： $(0,\infty) \models \pi > 2$

エンティティ私たちの言語は記号含まれていない限り、式ではありませんπモデルで解釈され、M数学定数としてπ ≈ 3.141を...。$\pi > 2$$\pi$$M$$\pi \approx 3.141\ldots$

もっと極端な場合には、その表示するようになり、そして再び、右側が私たちの言語は、バイナリラジカル記号が含まれている場合にのみ有効な式で$M\models\sqrt[15]{15,000,000} > 2$$\sqrt{}$そのラジカルとして解釈され、その数は、定数と15 、000 、000。$15$$15,000,000$

ポイントホームに突入するために、提示するモデルがより複雑な構造を持つ場合に何が起こるかを考えます。たとえば、実数をとる代わりに、Dedekindカット（実数の特定の実装）をとります。

その場合、モデルの要素は「数値」だけではありません。これらは、Dedkindカットを形成する有理数のセットのペアです。$(A,B)$

さて、オブジェクトを見て代わる"デデキントカット"我々はときに我々得るものです（" √の説明$({q \in \mathbb Q | q < 0 \vee q^2 < 5}, {q \in \mathbb Q | 0 \leq q \wedge q^2 > 5}) > 2$式x>2の 5。このオブジェクトは何ですか？これは公式ではありません---セットとペアがあり、誰がその中を知っているのですか？それは潜在的に無限です。$\sqrt{5}$$x > 2$

したがって、このアプローチが適切に機能するためには、「式」の概念を拡張して、意味オブジェクトと構文オブジェクトのそのような混合エンティティを含める必要があります。次に、置換などの操作を定義する必要があります。しかし、今の置換がもはや構文関数であろう：。これらは、これらの一般化された意味的に混合された用語の非常に大規模なコレクションに対する操作になります。$[ x \mapsto t]: Terms \to Terms$

あなたはこれらの技術を克服することができる可能性がありますが、私はあなたが非常に一生懸命働かなければならないでしょう。

標準的なアプローチでは、構文とセマンティクスの区別が維持されます。私たちが変更するのは、評価、意味論的実体、そして式を構文的に保つことです。