ネットワーク分析のためのペア近似の改良

ネットワーク上の相互作用を検討する場合、ダイナミクスを分析的に計算することは通常非常に難しく、近似が使用されます。通常、平均フィールド近似ではネットワーク構造が完全に無視されるため、適切な近似になることはめったにありません。よく使われる近似はペア近似です。これは、隣接ノード間に固有の相関を考慮します（直感的には、エッジの平均フィールド近似の一種と考えることができます）。

Cayleyグラフを検討している場合、近似は正確であり、正規規則グラフを検討している場合は非常に優れています。実際には、平均次数kでランダムグラフがあり、kの周りに次数が密に分布している場合にも、これは適切な近似を提供します。残念ながら、関心のあるネットワークや相互作用の多くは、この種のグラフではうまくモデル化されていません。これらは通常、特定の（および高い）で、（例えば、スケールフリーネットワーク、等）は、非常に異なる次数分布のグラフによくモデル化された係数クラスタリング（詳細については、参照、または特定の平均最短経路の距離をアルバート・Barabasi 2001） 。$k$$k$$k$

これらのタイプのネットワークでうまく機能するペア近似の改良点はありますか？または、利用可能な他の分析近似はありますか？

ネットワーク上の相互作用の例

私はネットワーク上の相互作用によって私が意味することの例を挙げようと思いました。進化ゲーム理論からの比較的一般的な例を含めます。

各ノードは、エージェント（通常は単に戦略によって表される）と考えることができます。これは、エッジを持つ他の各エージェントとペアでいくつかの固定ゲームをプレイします。したがって、各ノードへの戦略の割り当てが指定されたネットワークは、各ノードに見返りをもたらします。次に、これらのペイオフとネットワーク構造を使用して、次の反復のノード間の戦略の分布を決定します（一般的な例は、各エージェントが最も高いペイオフのネイバーまたはこれの確率的バリアントをコピーすることです）。通常、私たちが関心を持つ質問は、各戦略のエージェントの数と、それが時間の経過とともにどのように変化するかを知ることです。多くの場合、安定した分布（これについて知りたい、または概算したい）を持っているか、リミットサイクルまたはさらにエキゾチックな野獣がいることがあります。

この種のモデルで平均場近似を行う場合、ネットワーク構造をあからさまに無視し、完全なグラフに対してのみ正確である動的としてget レプリケーター方程式を使用します。（Ohtsuki＆Nowak 2006のように）ペア近似を使用すると、わずかに異なるダイナミクスが得られます（実際には、修正されたペイオフマトリックスを持つレプリケーターダイナミクスがあり、修正はグラフの次数と更新ステップの詳細に依存します）。これは、ランダムグラフのシミュレーションによく一致しますが、対象の他のネットワークには一致しません。

例のようなより物理的な場合：エージェントをスピンで置き換え、ペイオフマトリックスを相互作用ハミルトニアンと呼び、定期的なランダム測定を実行しながらシステムを冷却します。

注意事項および関連する質問

• トリプル（ノードの4倍）での平均場近似のタイプを考慮する種類のペア近似の単純な一般化は扱いにくく、それでも非常に異なる次数分布や平均最短経路距離を考慮に入れていません。

• アルゴリズム進化ゲーム理論のソース

一般的に、それらは強力なツールであるため、グラフ理論のスペクトル法に興味があるかもしれません。グラフの隣接行列（またはグラフのラプラシアン行列）の固有値を分析できます。

このような方法では、グラフのローカルプロパティ（次数の分布など）だけでなく、グローバル（接続、ショートカットの有無など）も考慮されます。特に、スペクトルはペア、三角形、最短経路の数に直接関係しています（2番目のリファレンスを参照）。

参考として（私はそれらをすくい取りましたが、それらは有用に見えます）：

• S.ボッカレッティら （Phys Rep 2006）、複雑なネットワーク：構造とダイナミクス（またはここ）
• K.-I. Goh et at。（PRE 2001）、スケールフリーネットワークのスペクトルと固有ベクトル、arXiv：cond-mat / 0103337

質問を定式化する方法は、ダイナミクスを気にするように聞こえますが、探しているものは定常状態の解決策のように見えるため、基底状態はより生産的なルートになるように見えます。

ペアワイズ近似を超えたいので、最も自然な候補手法は、行列の基底状態を処理するための現時点でかなりホットなトピックである行列積状態です。このアプローチが機能する方法は、基本的にノード間に最大のもつれペアを導入し、各ノードでプロジェクターを導入することです。より高次元のシステムを追加することで、グラフのより多くの機能をキャプチャできます。あなたの問題はおそらく量子的なものではないことはわかっていますが、この手法がまだ機能しない理由はわかりません。もつれ合った状態をに簡単に置き換えることができるはずです。$\frac{1}{2}(|00\rangle \langle 00| + |11\rangle \langle 11|).$

また、これがあなたが探している種類のものかどうかはわかりませんが、スケールフリーネットワークの実現可能性に関する最近の結果がいくつかあります。 PRL。「すべてのスケールフリーネットワークはまばらです」というタイトルのプレプリントは、arXiv：1106：5150として見つけることができます。

あなたが見たいと思うかもしれない2つのこと：

アルゴリズムゲーム理論Ch。7：グラフィカルゲーム

進化ゲームの変動

1つ目は、あなたが説明したようなゲームまたはスピンシステムで平衡を見つける方法についてです。戦略を採用するための特定のメタ戦略（具体的には、相関平衡につながるギブスサンプリングと同じもの）は、非常に一般的で扱いやすい分析を可能にします。

2番目の方法は、大偏差理論を使用して、進化ゲーム理論モデルの「ノルム」の大きな変動または変化を予測しようとします。取り組む例は小規模ですが、著者は彼が使用する数学的機構をできるだけ一般的で強力なものにしようと試みているので、あなたのケースに適用できるかもしれません。