直接積定理の変種

非公式の直接積定理は、関数fのインスタンスを計算することは、一度fを計算するよりも難しいと言います。$k$$f$$f$

典型的な直積定理（例えば、ヤオのXOR補題）を見て平均的ケースの複雑さであり、そして（非常に大まか）主張サイズの回路によって計算することができないのより良い確率で、Pは、k個のコピーFがによって計算することができませんp kよりも良い確率を持つサイズs ' < s の回路。$f$$s$$p$$k$$f$$s' < s$$p^k$

さまざまな種類の直接積定理を探しています（既知の場合）。具体的には：

（1）エラーの確率を修正し、代わりにfのk個のコピーを計算するのに必要な回路のサイズに関心があるとしますか？もしと言う存在の結果であるfはサイズの回路によって計算することができないのより良い確率でPは、その後、Kのコピーfがより良い確率で計算することができないPより小さいサイズの回路を用いてO （K ⋅ S ）？$p$$k$$f$$f$$s$$p$$k$$f$$p$$O(k \cdot s)$

（2）最悪の場合の複雑さに関して知られていることは何ですか？例えば、場合サイズの回路で（0のエラーで）計算できないのは、我々は計算の複雑さについて何を言うことができるk個のコピーfは（0エラーで）？$f$$s$$k$$f$

すべての参考文献をいただければ幸いです。

（1）：この質問は、Ronen Shaltielの論文「強い直接積定理の証明に向けて」で研究されました。そのような推測は誤りであることがわかります。たとえば、確率0.99 ∗ pでを計算できる可能性がありますサイズがsよりもはるかに小さく、追加の0.01 ∗ p確率質量のみがサイズsを必要とします。このような場合、k個のインスタンスでfを計算すると、回路はsよりもはるかに小さいサイズでほとんどのインスタンスでfを解くことができ、少数のインスタンスでのみサイズsが必要になります。$f$$0.99 * p$$s$$0.01 * p$$s$$f$$k$$f$$s$$s$

$f : \{0,1\}^n \to \{0,1\}^n$$n \times n$$f$$n^2$$n$$n^3$行列乗算アルゴリズムを使用します。Ingo Wegener著の本「ブール関数の複雑さ」でこの主題の詳細な議論を見つけることができます-ここでチャプター10.2を参照してください：http : //eccc.hpi-web.de/static/books/The_Complexity_of_Boolean_Functions/。

Orの回答を補足するために、（1）[kコピーでうまくいくにはどれだけのリソースが必要か]のフレーバーの質問が研究され、対応する定理は「直接和定理」と呼ばれます。直接積定理と同様に、直接和定理は、設定に応じて保持される場合と保持されない場合があります。