時間の複雑さのためにシングルテープチューリングマシンを使用するのはなぜですか？

ご存知のように時間がある場合、単一のテープチューリングマシンの多くかの異常があるマルチテープTMシミュレーションだけを有するより大きなテープアルファベットのシミュレーション：、時間施工、非気密性が時間階層定理の... $o(n^2)$ $\{0,1,b\}$

また、、および単純な問題の非常にモデル固有の時間下限（2つのテープTMの超線形下限に変換されない）のような結果もあります。 $\mathsf{DTime}(o(n\lg n)=\mathsf{Reg}$ $O(n^2)$

スペースの複雑さのために、より自然で堅牢な読み取り専用の入力テープを別に用意したモデルを使用します。

複数のテープ（または少なくとも2本の作業テープ）を備えたTMモデルは、はるかに堅牢であり、上記のような異常を引き起こすことはありません。私はかつて、複雑性理論の初期のシミュレーション結果を証明した著名な複雑性理論家に、これらの古い結果のいずれかの改善を知っているかどうかを尋ねましたが、答えは「1つのテープモデルに関する質問は重要"。

時間の複雑さの標準モデルを2つのテープTMに変更しても、複雑性理論の合理的な結果は変わらず、特定のモデルに起因するこれらの異常を回避します。だから私の質問は：

時間の複雑さがまだ単一テープTMの観点から定義されている理由はありますか？（歴史的理由以外）

cc.complexity-theory turing-machines

— カベ
ソース

単一のテープTMによって定義される時間の複雑さを見たことはありません。

$\:$ 私は、単一のテープTMによって定義された堅牢な時間複雑度クラスを見てきました。

$\;\;$

@Ricky、私は問題の時間の複雑さを、それを解決できる単一のテープTMの時間の複雑さの観点から定義することを意味しました。

— カヴェー

そして、私はそれを見たことがないことを意味します。

$\:$ 少なくとも、ランダムアクセスを見てきました。

$\;\;$

しかし、それは本当に通常の定義ですか？私が教科書で見たものは次のとおりです。1）単一のテープチューリングマシンを定義します（より単純なため）。2）他のバリアント、特にマルチテープおよびランダムアクセスに拡張する方法を示します。3）これらすべてが、せいぜい多項式のスローダウンで互いにシミュレートできることを示す。4）少なくともオラクルのマシンやログスペースの削減などのより微妙なものが必要になるまでは、ほとんどの部分でモデルをすぐに忘れてください。したがって、@ RickyDemerのように、これが本当に通常の定義であるという主張に挑戦します。

— サショニコロフ

これに対する答えはありませんが、山上（springerlink.com/content/u844854721p83870）がこの作品を紹介したいと思います。このペーパーでは、小さなマシンにアドバイスを追加するとどうなるかについて説明します（つまり、リニアタイムワンテープTM）。いくつかのクラス分離を証明しますが、これらの1テープTMを使用してそうします。他の種類のTMがある場合、これらの分離は機能しません。これは、1つのテープでクールなことを証明でき、おそらく別のモデルではできないことを証明できる良い例だと思います。教訓は、「微妙なことを扱うときは1テープの問題」です。

— マルコスヴィラグラ

回答:

他の答えはとてもいい感じです。Russell Impagliazzoが何年も前に講義で行ったコメントを共有したいと思います。

物理的妥当性から、TuringはシングルテープTMを好んでいたと思います。

私はラッセルにこのスレッドを数日前に指摘しましたが、彼がここにいないので、彼のコメントを知ってもらいたいし、解釈するために最善を尽くします。

単一のテープTMの場合、無限の長さのテープを想定します（私に固執してください）、反復ごとに制限された量のエネルギーが必要なTMを構築できます。テープが長いロッドであり、すべてのTMロジックを含むヘッドがこのロッドに沿って単純に動くと想像してください。（私は非常に原始的な技術を使用した、かわいらしい小さなギアの仕掛けだと思います。ロッドはそれに沿って切り込みを入れることができ、テープセルの内容物はロッド軸に直角にスライドするブロックです。）

$k$ $k$ 上記の仕掛けのうち、読み取りステータスを非常に遠くにある可能性のある他のヘッドに伝える必要があります。これは無制限の量のエネルギーを消費します（たとえば、ワイヤを使用すると必然的に熱が漏れます）、さらに瞬間的ではないため、メカニズムが複雑になります。代わりに、ヘッドをまとめてテープをその下に移動した場合、無限の長さのテープを移動するのに十分なエネルギーを使用することになります。どちらの場合も、エネルギーを制限する方法はわかりません。（有限長を得るために）テープの増分を縮小するようなトリックは、無限に分割可能な宇宙を想定しており、プランクの定数やホログラフィック原理のようなものに違反しています。これらを無視しても、頭部のメカニズムはthe意的に正確でなければならず、これもエネルギー問題を引き起こし、驚くほど複雑です。

$k$

— マトゥス
ソース

チューリングは物理デバイスのモデルを抽象化するのではなく、「コンピューティング」の概念を抽象化しようとしていると思いました。その場合、シングルテープチューリングマシンは、計算が大規模な（無限の）メモリへのローカルアクセスを伴うという哲学的直感をきれいにキャプチャします。

— Sasho Nikolov

理論的な理由（モデルの実現可能性ではない）を期待していましたが、この答えは非常に興味深いと思うので、受け入れています。再度、感謝します。

— カベ

テープヘッドを所定の位置に保持することで、Hennie-Stearns構造の形式を設計することで、全エネルギーを対数線形にすることができます。テープがどちらかの方向に伸びるにつれて、ますます大きなループに巻かれるのを想像しています...または、より想像的には、テープのスプール上、スプールへの100テープ、ラックへの100スプール、倉庫への100ラックなどです。オン。もちろん、反復ごとの制限されたエネルギーの場合、合計エネルギーが時間的に線形である必要があります。しかし、準線形は単純な2次よりも優れているので、言及するつもりでした。

— ダンBrumleve

$f(n)$

Sipserがこれを行う明確な教育的理由があります。つまり、コースは自然にそのように流れるのです。

マルチテープマシンの前にシングルテープマシンを導入する必要があります。導入しないと、学習曲線が急勾配になります。
$\cdot$ $\cdot$
マルチテープマシンを導入する瞬間に、マルチテープマシンとシングルテープマシンを理想的に比較する必要があります。そうしないと、無知が長引くと混乱が生じます。
マルチテープマシン用の類似のTIMEクラスの導入を省略して、表記を全体的に簡素化できます。

教育学が最も簡単な道を明確に指示するとき、概念の清潔さをする理由はなく、すべてのコンピューターサイエンスの学部生は、まだ証拠を理解していないすべての人を含め、この初歩的なコースを取る必要があります。

— ジェフ・バージス
ソース

いいえ、IIRC、TMとの最初の出会いはホップクロフトとウルマンの初版でした。しかし、私がこの質問をしている理由は、実際にはSipserの素晴らしい教科書に関連しています。Sipserに基づいた複雑性理論を教えました。 -テープTM。シングルテープTMのアクセス制限に関するこれらの小さな技術的詳細はすべて回避され、限られた時間内でより興味深い資料をカバーできます。Sipserは、チャーチチューリングテーゼの使用についてリラックスしています。

— Kaveh

ですから、この部分についてリラックスしていても大丈夫だと思いました。時間階層の定理の部分で、彼は、複数のテープがあれば非常にタイトになるので、追加のログ係数は必要ないと述べています。このため、時間の複雑さのためにシングルテープTMを使用する非歴史的な理由があるかどうかを尋ねました。スペースの複雑さのために別の読み取り専用テープを使用するよりも悪いことはありません（これも主に、単一のテープTMが小さなスペースの複雑さのクラスに関する直感をうまくキャプチャしないためです）。

— カベ

独立した入力テープがなければ、どのようにサブリニアスペースの境界を理解するのかさえわかりません。

$\;$

はい、SPACEが異なる方法で行われると仮定しますが、部分的にはサブリニア境界を使用するため、おそらくTIMEでは使用できません。このようにしたい場合は、TIMEの添え字を付けたり、SipserがSPACEに対して行うことは何でもすることをお勧めします。

— ジェフバード

興味深いことに、SipserはSPACE（f（n））を定義するときに単に「チューリングマシン」と言いますが、後にサブリニア関数fを議論するときに定義を変更し、スーパーライナーfの等価性に関する演習を割り当てます。この資料はSipserから以前に教えたことがあります。当時はあまり考えていませんでしたが、今は満足しています。

— ジェフバージズ

元のチューリングマシンは、単一のテープを使用して説明されました。

www.cs.ox.ac.uk/activities/ieg/e-library/sources/tp2-ie.pdf

あなたの質問で述べているように、これは主に歴史的な理由によるものです。さらに、何かを行うことができる最も単純なモデルは何かを尋ねる傾向が常にあります...

また、このトピックは通常非常に形式的に教えられているため、2つのテープマシンよりも1つのテープマシンを記述する方が技術的に簡単です。

こちらもご覧ください：

http://www.cs.utah.edu/~draperg/cartoons/2005/turing.html

— サリエル・ハー・ペレド
ソース