超越数の決定可能性

質問があり、その答えはおそらくよく知られていますが、少し検索しても意味のあるものを見つけることができないので、助けていただければ幸いです。

私の質問は、数が超越的であるかどうかを決定することが決定不可能であることが知られているかどうかです。

おそらく、入力として、数値のi番目のビットを返すプログラムを想定しています。すべてのポインタを事前に感謝します。

computability computable-analysis

— ipsofacto
ソース

実数が特定のビットを計算するプログラム、または有理近似を計算するプログラム、または同様の種類のプログラムによって表される場合、実数の決定可能なセットは自明なもののみです（つまり、すべての計算可能な実数を含むか、計算可能な実数を含まないもの）。、ライスの定理による。

— EmilJeřábek12年

その意味はどのように示されますか？

$\:$

回答:

クリストファーの解を使用して、実数が表されると仮定して、計算可能にコーシーである実数列の制限を計算できることを示します。シーケンス思い出してください計算マップがあればcomputablyコーシーであるなどがその、任意我々が持っていますすべてのため $(a_n)_n$ $f$ $k$ $|a_{m} - a_{n}| < 2^{-k}$ $m, n \geq f(k)$ 。実数の標準的な表現はそのようなものです。たとえば、実数は、任意の適切な有理近似を計算するマシンによって表されるものです。（数字を計算することで話すこともできますが、負の数字を許可する必要があります。これは、実数の計算可能性理論でよく知られている問題です。）

定理：仮定存在するようなサブセットで計算シーケンス computablyコーシー、その限界である外部である。次に、「実数要素ですか」という質問は決定できません。 $S \subseteq \mathbb{R}$ $(a_n)_n$ $x = \lim_n a_n$ $S$ $x$ $S$

証明。が決定可能であると仮定します。任意のチューリングマシン所与、シーケンスの検討として定義され $S$ $T$ $b_n$ が計算可能なコーシーであることを確認するのは簡単です。したがって、その限界計算できます。今私たちはを持っています

b_{n} = {\begin{cases} a_{n} & if T has not halted in the first n steps, \\ a_{m} & if T has halted in step m and m \leq n . \end{cases}

$b_n = \begin{cases} a_n & \text{if $T$ has not halted in the first $n$ steps,}\\ a_m & \text{if $T$ has halted in step $m$ and $m \leq n$.} \end{cases}$

b_{n}

$b_n$

y = lim_{n} b_{n}

$y = \lim_n b_n$

IFF

停止、私たちは停止問題を解決することができます。QED。

y \in S

$y \in S$

T

$T$

私たちは、シーケンス外であると仮定した二重の定理があるが、その制限がである。 $S$ $S$

これらの条件を満たす集合例は、開区間、閉区間、負の数、シングルトン、有理数、無理数、超越数、代数などです。 $S$ $\lbrace 0 \rbrace$

定理の条件を満たしていないセットを設定するで翻訳有理数の非計算数。演習：決定可能ですか？ $S = \lbrace q + \alpha \mid q \in \mathbb{Q}\rbrace$ $\alpha$ $S$

— アンドレイ・バウアー
ソース

お返事をありがとうございます。明確に言えば、定理は、集合SがSの外側に少なくとも1つの限界点を持っている場合、要素xがSの中にあるかどうかを決定できないと言っていますか？次に、例の閉じた間隔について少し混乱しています。

— ipsofacto

閉区間の後には、

制限がある

外のシーケンスをとる双対定理が続きます。

S

$S$

S

$S$

— Andrej Bauer

が「

外側で計算可能」であることの意味（「

外側」とは対照的）

x

$x$

S

$S$

S

$S\hspace{.01 in}$ "）

$\:$ ？

$\;\;$

それはタイプミスでした。気づいてくれてありがとう。それ以外の場合は、 "

computably外にある

のようなものを意味するかもしれない" "すべてのため

、我々は正合理的な計算することができる

なるように

"、すなわち、文の「

x

$x$

S

$S$

y \in S

$y \in S$

q

$q$

d (x, y) > q

$d(x,y) > q$

\forall y \in S . \exists q \in Q . 0 < q < d (x, y)

$\forall y \in S . \exists q \in \mathbb{Q} . 0 < q < d(x,y)$ 」を実現している。しかし、あなたはマルコフ原則を信じている場合は、あなただけのことを知ることによって、このようなマップを再構築することができます

でない

ので、この場合には、「外部の間に差がない、

及び『computably外部

。』

x

$x$

S

$S$

S

$S$

S

$S$

— アンドレイ・バウアー

チューリングマシンを考えると、チューリングマシンの定義入力では次のように番号を表す実行ために空の入力にステップを。もし $M$ $M'$ $i$ $M$ $i$ 停止した、出力し。それ以外の場合は、番目のビットを出力します。 $M$ $0$ $i$ $\pi$

— クリストファー・アルンフェルト・ハンセン
ソース

超越のセットは開かれていません $\mathbf R$ 特に、それに緻密でcodenseある（。従って、それは決定不能です。 $\mathbf R$

— デビッドハリス
ソース

計算可能な実数のセットは

開かれていません（特に、それは密であり、

でコード化されます）

R

$\mathbf{R}$

R

$\mathbf{R}$ ）が、それは決定可能です。

$\:$

リッキー、これは本当ではない。実数のオラクルを考えると、それが計算可能かどうかを判断することはできません。

— デビッドハリス

私が与えたセットは、常に「はい」と答えるアルゴリズムによって決定可能です。

$\:$ 2番目の文は、私が与えたセットがタイプ2の決定可能ではないことを示しています。

$\;\;$

@Ricky Demer：計算実数の集合は、2つの感覚で決定不能である：任意のインデックス指定された（1）

、かどうかを決定する

計算可能実数を計算チューリングマシンの指標です。（2）任意の迅速に収束するコーシーシーケンスが与えられた場合、それが計算可能なシーケンスであるかどうかを決定します。計算可能な実数のセットが決定可能であるという常識はありません。

e \in N

$e \in \mathbb{N}$

e

$e$

— Carl Mummert、2012年

@Carl：インデックスを指定するアルゴリズムがあります

e \in N

$\: e\in \mathbb{N} \:$ 計算本物を計算チューリングマシンの指標である、かどうかを決定している

e

$e$ を計算するチューリングマシンのインデックスですが計算するチューリングマシンのインデックスします

$\hspace{.1 in}$ 計算可能な実数。

$\;\;$ これだけです実数のセットの決定可能性の興味深い感覚です。

$\hspace{.2 in}$ あなたの（1）は、計算可能な実数のないセットによって正確に満たされます

$\hspace{2.2 in}$ そして、あなたの（2）は、

{}

$\: \{\} \:$

R

$\mathbf{R}$

$\;\;\;$