TCSのフロンティアに関する未解決の問題

スレッドでは、理論的なコンピューターサイエンスの主要な未解決の問題は？、Iddo Tzameretは次の素晴らしいコメントを述べました。

ような基本的な問題と見なされる主要な未解決の問題と、解決されると技術的なブレークスルーを構成するが、必ずしも基本的なものではない主要な未解決の問題、たとえば指数下限回路（つまり、AC ^ 0 + \ mod 6ゲート）。したがって、「TCSのフロンティアにおける未解決の問題」などと題された新しいコミュニティwikiを開く必要があります。$P\neq NP$$AC^0(6)$$AC^0+\mod 6$

Iddoはスレッドを開始しなかったので、このスレッドを開始すると思いました。

多くの場合、フィールドの主要な未解決の問題は、関連する分野で働く研究者に知られていますが、現在の研究が行き詰まっている点は部外者には知られていません。引用された例は良い例です。部外者として、回路の複雑さの最大の問題の1つは、NPがスーパー多項式サイズの回路を必要とすることを示すことであることは明らかです。しかし、部外者は、私たちが立ち往生している現在のポイントがmod 6ゲートを備えたAC ⁰回路の指数関数的な下限を証明しようとしていることに気付かないかもしれません。（もちろん、私たちが行き詰まっている場所を説明する同様の難易度の他の回路の複雑さの問題があるかもしれません。これはユニークではありません。）別の例はn ^1.801よりも良いSATの時間空間の下限を示すこと^です。

このスレッドはこのような例です。そのような問題を特徴付けることは難しいため、このような問題が持つ特性の例をいくつか挙げます。

1. 多くの場合、フィールドの大きな未解決の問題ではありませんが、解決されれば大きなブレークスルーになります。
2. 昨日問題が解決したと誰かがあなたに言った場合、信じられないほど難しいことではありません。
3. これらの問題には、基本的ではない数値や定数が含まれることもよくありますが、これはたまたま私たちが行き詰まっている場所にあるために発生します。
4. 特定の分野の最前線での問題は、長年にわたって変わらない分野の最大の問題とは対照的に、時々変化し続けます。
5. 多くの場合、これらの問題は未解決の最も簡単な問題です。たとえば、AC ^1の指数下限もありませんが、 [6]がそのクラスに含まれているため、 [6]の下限を表示するのが形式的に簡単になり、したがって回路の複雑さの現在のフロンティア。$AC^0$$AC^0$

回答ごとに1つの例を投稿してください。標準のビッグリストおよびCW規則が適用されます。誰かが私が探している問題の種類を私よりもうまく説明できる場合は、この投稿を編集して適切な変更を行ってください。

編集：Kavehは、答えには、特定の問題がフロンティアにある理由に関する説明も含めることを提案しました。たとえば、なぜ我々はACに対する下限を探している⁰ [6]といないAC ⁰ [3]？答えは、AC ⁰に対して下限があるということです[3]。しかし、明らかな疑問は、AC ^0でこれらの方法が失敗する理由です[6]。答えがこれを説明することができればそれは素晴らしいでしょう。

最短経路調査の3つを次に示します。

O （n + m log w ）2 $1$。少なくとも計算のワードRAMモデルで、非負の重みを持つ有向グラフの単一ソース最短パスの線形時間アルゴリズムはありますか？無向グラフには線形時間アルゴリズムが存在することに注意してください（Thorupの論文を参照）。それに基づいて、Hagerupの実行時間は、重みが区切られた有向グラフのです。より高速なアルゴリズムはありますか？$O(n+m\log w)$$2^w$

O （N ω N ）ω < 2.376 O （N 2.575）O （N ω N $2$。存在する polylog非加重有向グラフにおける全ての対の最短経路アルゴリズムは？（は行列乗算の指数です）現在の最適な実行時間はZwickによるであり、無向グラフの問題は polylogで解決できます。$O(n^\omega$$n)$$\omega<2.376$$O(n^{2.575})$$O(n^\omega$$n)$

（指示された問題は実際に難しいですか？）

O （n 2.9）n 0 、… 、$3$。存在する内の全ての対の最短経路アルゴリズム -nodeグラフは、{に重みで }？または、一般的なすべてのペアの最短経路問題からこの制限への削減はありますか？$O(n^{2.9})$$n$$0,\ldots,n$

これはすでに質問で言及されています：

開いた：

を（深さ2の回路）から分離します。 A C 0 2 [ 6 ] A C 0 [ 6 $EXP^{NP}$$AC^0_2[6]$$AC^0[6]$（以下の更新を参照してください）

[11月。からを分離します。をから分離し。A C 0 2 [ 6 ] E X P N P T C $EXP$$AC^0_2[6]$$EXP^{NP}$$TC^0$

既知：

1. [Alexander Razborov 1987-Roman Smolensky 1987]は、が素数でが累乗でない場合、ありません。 A C 0 [ p k ] p m $MOD_m$$AC^0[p^k]$$p$$m$$p$

2. [Arkadev Chattopadhyay and Avi Wigderson 2009] m、qを互いに素な整数とし、mが平方なしで最大2つの素因数を持つようにします。Cをタイプ任意の回路とします。ここで、はまたはゲートであり、ベースのゲートには任意の受け入れセットがあります。Cがを計算する場合、トップファンイン、したがって回路サイズはでなければなりません。 G A N D O R M O D M M O DのQ 2 Ω （N $MAJoGoMOD^A_m$$G$$AND$$OR$$MOD_m$$MOD_q$$2^{{\Omega(n)}}$

結果は、関数の指数関数的に小さな相関境界を深さ2のサブ回路で取得し、低次多項式を含む指数和を推定することに基づいています。$MOD_q$

障害：？

更新[11月。10、2010]

Ryan Williamsの論文は、上記の方法とは本質的に異なると思われる方法を使用して、この未解決の問題を解決したようです。

[Ryan Williams 2010]は、サイズ不均一な回路がありません。 A C C 0 2 n o （1 $E^{NP}$$ACC^0$$2^{n^{o(1)}}$

参照：

• AAラズボロフ。Matematicheskie Zametki、41（4）：598–607、1987の論理的加算（ロシア語）を含む完全な境界深度ネットワークのサイズの下限。 （4）：333–338、1987

• R.スモレンスキー。ブール回路の複雑さの下限の理論における代数的方法。STOCの77〜82ページ。ACM、1987年。

• Arkadev ChattopadhyayとAvi Wigderson。複合モジュラス上の線形システム、FOCS 2009

• ライアン・ウィリアムズ。不均一なACCサーキット下限、2010年、ドラフト（提出済み？）。

CNF-SATを、特定のCNF式が充足可能かどうかを判断する問題にします（句の幅に制限はありません）。

変数と句のCNF-SATは、時間で、いくつかのですか？M 2 δ N p個の入出力のL Y （M ）δ < $n$$m$$2^{\delta n} poly(m)$$\delta < 1$

これは、「NPの高速アルゴリズム」の分野でよく知られている未解決の問題です。「主要な未解決の問題」の状態を達成したとは思いませんが、かなりの注目を集めています。最もよく知られているアルゴリズムは、時間（たとえば、ここ）で実行されます。$2^{n-\Omega(n/\log (m/n))}$

指数時間仮説（3SATは準指数時間ではない）に関連して、 -SATの最適な実行時間がとして収束するという「強力な指数時間仮説」もあります。Strong-ETHの結果の1つは、上記の質問に対する答えがノーであるということです。いくつかのもっともらしい仮説は、答えがイエスであるということを暗示していますが、誰が知っています。2 n k → $k$$2^{n}$$k \rightarrow \infty$

いずれかの方法で「解決」される可能性が高い問題の1つだと思います。「はい」と答えるか、「はい」と答えると非常に大きな問題があることを示します。最初のケースでは、我々は問題を解決する満足感があるでしょう、後者の場合には、我々は「主要なオープンな問題」との質問に上昇しているよ...無回答は意味ない、と「はい」の回答は、非常に重要なことを意味します。:)$P \neq NP$

決定木がPAC学習可能かどうかの問題は、計算学習理論の最前線にあるようです。

開いた

デシジョンツリー（DT）PACは、例の（または一般的な）一様分布の下で学習可能ですか？

既知

• DTは、統計クエリ（SQ）を使用した均一分布では学習できません[ Blum et al。'94 ]
• ランダムDTは均一な分布の下で学習可能です[ Jackson、Servedio '05 ]
• 単調なDTは均一な分布の下で学習可能[ O'Donnell、Servedio '06 ]
• 一様分布下でDTを学習するための平滑化された分析[ Kalai、Teng '08 ]

これが興味深く重要な問題である理由は、決定木が非常に自然なクラスであり、オートマタとは異なり、問題を絶望的にする暗号化の困難な結果がないためです。この質問の進展は、DT（および同様のクラス）が分布の仮定なしで学習可能であるかどうかの洞察をおそらく与えることができます。これは、理論的なブレークスルーであることに加えて、実用的な影響を与える可能性があります。

また、この問題はあらゆる面から取り組んできたようです。例の一様分布の下では、単調な決定木が学習可能であり、ランダムな決定木が学習可能であり、平滑化された分析も存在することがわかります。また、SQアルゴリズムではこの問題を解決できないこともわかっています。また、この分野でも着実に進歩しています。一方、これはしばらくの間開かれている難しい問題であるため、「TCSのフロンティアに関する未解決の問題」の法案に当てはまるようです。

そこに私が上に行っていない他の結果であることに注意してください適切な学習の硬度 DTSがする能力に、クエリでのDTを学び、学習の硬度にも、ランダムのDT SQSとします。

開いた：

明示的な静的データ構造問題のセルプローブモデルに下限を表示します。これにより、「合理的な」空間制限（たとえば、空間が入力のサイズの多項式である）の下で、クエリ時間が最小T。Tはlog | Q |よりも大きく、Qはクエリのセットです。これは「log | Q | -barrier」（または時々、多少間違った名前で「logn-barrier」）と呼ばれます。

既知：

1. log | Q |よりも高い下限 暗黙の問題について（ミルターセンの調査を参照）

2. log | Q |よりも高い下限 極端なスペース制限がある（例：簡潔な下限）

3. log | Q |よりも高い下限 動的な問題の場合（更新時間が非常に短い場合、クエリ時間は非常に長くなければならない、またはその逆でなければなりません。例えば、部分合計のパトラスクの下限を参照してください）

4. ポインターマシン、比較モデルなどの制限されたモデルの下限

5. ログを壊す下限| Q | Aliceは単にlog | Q |だけを取るクエリ自体を送信できるため、通信の複雑さを軽減する標準的な種類では障壁を証明できません。ビットであるため、この削減がこれよりも良い下限を決して与えないことを確認するのは簡単です。したがって、セルプローブモデルにバインドされた「ネイティブ」を使用するか、通信の複雑さをさらに巧妙に削減する必要があります。

低レベルの複雑度クラスでは、特性化に関して興味深い問題があり ます。$\mathsf{NL}$

開いた：

がと等しいかどうかを示します。U $\mathsf{NL}$$\mathsf{UL}$

N $\mathsf{UL}$（あいまいでないログスペース）は、マシンで解決できる問題で構成され、計算パスを受け入れるのは1つだけであるという制約が追加されています。$\mathsf{NL}$

既知：

• 下の不均一な状況、。[RA00]$\mathsf{NL/poly} = \mathsf{UL/poly}$
• もっともらしい硬度の仮定（は指数サイズの回路が必要です）の下では、[RA00]の結果をランダム化してことを示すことができます。[ARZ99]N L = U $\mathsf{SPACE}(n)$$\mathsf{NL} = \mathsf{UL}$
• 3ページグラフの到達可能性は完全です。[PTV10]$\mathsf{NL}$
• 2ページのグラフでの到達可能性は解決可能です。[BTV09]$\mathsf{UL}$
• もし、その後。[AJ93]F N L ⊆ ♯ $\mathsf{NL} = \mathsf{UL}$$\mathsf{FNL} \subseteq \mathsf{\sharp L}$

未知の：

• 最大で多項式的に多くの計算パスを受け入れるによって解決可能な問題であると定義されている中間クラスは、とます。崩壊は知られていない。$\mathsf{FewL}$$\mathsf{NL}$$\mathsf{NL}$$\mathsf{UL}$
• 有名なImmerman-Szelepcsényi定理によってことが知られていますが、補数の下でが閉じているかどうかはまだ開いています。$\mathsf{NL} = \mathsf{coNL}$$\mathsf{UL}$

PCPの未解決の問題：

• スライディングスケールの推測。PCPでは、検証者のエラーをできるだけ小さくする必要があります。BGLRは、エラーがに至る可能性があると推測しましたここで、はランダム性です（明らかに下限があります）。エラーを減らすために支払う代償は、アルファベットを適切に増やすだけです。$2^{-\Theta(r)}$$r$$2^{-r}$

より形式的に：推測はacが存在するということで、すべての自然なrに対して、すべてのに対して、r完全性と健全性のエラー。証明のアルファベットはのみに依存します。$\varepsilon \geq 2^{-cr}$$\varepsilon$$1/\varepsilon$

2つのクエリで最もよく知られているエラーは、特定のです（M-Raz、2008）。に対してエラーを達成することもできますが、（DFKRS）に依存する多くのクエリがあります。$1/r^{\beta}$$\beta>0$$2^{-r^{\alpha}}$$\alpha <1$$\alpha$

cの下限（つまり、近似アルゴリズム）も求められています。

詳細については、Irit Dinurの調査を参照してください。

• 直線長PCP。長距離の高距離エラー修正コードがあります。直線長のPCPはありますか？

具体的には、一定数のクエリ、一定のアルファベット、一定のエラーを持ち、式の長さで線形の長さの証明にアクセスするSAT式の充足可能性の検証者が必要ですか？これは、1に近いエラー（ただし、取るに足らないよりも優れています）、サブ指数アルファベット、およびサブリニアのクエリ数に対してもオープンです。$1-1/n$

最もよく知られている長さは、定数エラーのは、定数エラーの場合はです。$n polylog n$$n \cdot 2^{(log n)^{1-\beta}}$

ごとに、ワイヤを備えた（不均一な）回路を持たない言語があることを証明します。ことを思い出してください。つまり、オラクルにアクセスして、指数時間の超線形回路の下限を証明します。$c > 0$$E^{NP}$$c n$$E = \bigcup_{k \geq 1} TIME[2^{k n}]$$NP$

A -locally decodable code（LDC）はマップであり、ローカルデコーダーと呼ばれるアルゴリズムがあります、入力として与えられる整数および受信ワードは、最大でいくつかのに対してとは異なります位置の分数、最大座標を検索し、少なくとも確率でを出力します。場合、LDCは線形であると言われます$(q,\delta,\epsilon)$$C: \mathbb{F}^m \to \mathbb{F}^n$$A$$i \in [m]$$y \in \mathbb{F}^n$$C(x)$$x \in \mathbb{F}^m$$\delta$$q$$y$$x_i$$1/|\mathbb{F}| + \epsilon$$\mathbb{F}$はフィールドで、は -linearです。LDCには、複雑性理論やプライバシーなど、多くの用途があります。$C$$\mathbb{F}$

以下のためにと一定の、状況は完全に解消されます。アダマールのコードは線形クエリLDCであり、これは非線形LDCでも基本的に最適であることが知られています。しかし、ここでは、がフロンティアです！すぐに我々が行うように、既知の上限と下限の間に大きなギャップがあります。現在の最適な上限は、クエリの複雑さ持つ任意の有限体（および実数と複素数）に対する線形クエリLDCです [ Efremenko '09、Dvir-Gopalan-Yekhanin '10 ]。最高の下限は$q=2$$\delta,\epsilon$$2$$n = \exp(m)$$q=2$$q=3$$3$$n=\exp(\exp(\sqrt{\log m \log \log m})) = 2^{m^{o(1)}}$$\Omega(m^2)$線形 -任意のフィールドでLDCを照会し、一般 -LDCの[ Woodruff '10 ]を照会します。より多くのクエリの状況はさらに悲惨です。$3$$\Omega(m^2/\log m)$$3$

総関数の決定論的および（2面有界エラー）量子クエリの複雑性の間で可能な最大のギャップは何ですか？

開いた：

量子クエリの複雑度がTで、決定論的なクエリの複雑度がω（T ²）である全関数が存在しますか？

量子クエリの複雑度がTで、決定論的なクエリの複雑度がω（T ⁴）である全関数が存在しますか？

量子アルゴリズムによるTクエリで合計関数を計算できる場合、決定論的アルゴリズムによるクエリで常に計算できますか？$o(T^6)$

既知：

全関数の量子クエリの複雑度がTの場合、その決定論的なクエリの複雑度はです。（参照）$O(T^6)$

最大の既知のギャップは、2次ギャップを実現するOR関数によって実現されます。

更新（2015年6月21日）：4次（4乗）分離を実現する関数がわかりました。http://arxiv.org/abs/1506.04719を参照してください。

OR関数が最大のギャップを達成すると推測されます。

Ashleyの提案に従って、正確な計算のために同じ問題を追加します。

開いた：

正確な量子クエリの複雑度がTで、決定論的なクエリの複雑度がある合計関数はありますか？$\omega(T)$

既知：

全関数の正確な量子クエリの複雑度がTである場合、その決定論的なクエリの複雑度はです。（参照）$O(T^3)$

最もよく知られているギャップは2倍です。

更新（2012年11月5日）：これは、Andris Ambainisによる正確な量子アルゴリズムのスーパーリニアアドバンテージで改善されました。要約から：「ブール関数f（x_1、...、x_N）の最初の例を示します。正確な量子アルゴリズムは決定論的アルゴリズムよりも超線形の利点があります。関数を計算する決定論的アルゴリズムはNクエリを使用する必要がありますが、正確な量子アルゴリズムは、O（N ^ {0.8675 ...}）クエリで計算できます。」

証明の複雑さには多くの未解決の問題がありますが、何人かの専門家がそれを解決しようとして何年も費やした後でも未解決のままである問題についてのみ言及します。これは、回路の複雑さの状態を証明する複雑さのバージョンです。（証明の複雑さに関する未解決の問題をもっと見たい場合は[Segerlind07]を参照してください。）

開いた

証明システム -Fregeの超多項式証明サイズの下限を証明します。$AC^0[2]$

$AC^0[2]$ -Frege（別名D-フレーゲ+）のみ可能命題証明システムが（と回路ゲート）。$CG_2$$AC^0[2]$$AC^0$$\bmod 2$

既知の

1. （鳩と鳩の穴の原理の定式化）には、 -Frege（別名一定深さFrege、d-Frege）の指数的証明サイズ下限があります。穴）。 -Frege +（公理をカウントする一定の深さFrege）の指数下限もあります。 -Frege +が多項式的に制限されていないことも知られています。$AC^0$$PHP^{n+1}_{n}$$n+1$$n$$AC^0$$CA_p$$\bmod p$$AC^0$$CA_m$

2. 対応する回路クラス、つまりは指数関数的な回路サイズの下限があります。$AC^0[2]$

参照：

• Nathan Segerlind、「命題の証明の複雑さ」、Bulletin of Symbolic Logic 13（4）、2007

開いた：

QIP（2）とAMの間のOracle分離を示します。つまり、AM ^AにないQIP（2）^Aの問題を示します。

大きな未解決の問題は、BQPとPHのオラクル分離を示すことです。しかし、BQPとAMを分離することすらありません（AMはPHにあるため、これはより簡単なはずです）。さらに悪いことに、Merlinとの1ラウンドのやり取りを可能にすることでBQPをかなり強力にし、クラスQAMまたはQIP（2）（パブリックコインまたはプライベートコインに依存）を提供しますが、まだ分離はありません。

既知：

最もよく知られている分離は、BQPとMAの間です。これは、John Watrousによるこの論文から来ています。決定問題クラスではない複雑度クラスについては、Scott Aaronsonによるこれらの結果を参照してください。

これがフロンティアの未解決の問題なのか、主要な未解決の問題なのかわからないので、コメントを歓迎します。

開いた：

がが崩壊することを意味するかどうかを示します。P $\mathsf{NP} = \mathsf{UP}$$\mathsf{PH}$

$\mathsf{UP}$（明確な多項式時間）は、NPマシンによって決定される決定問題として定義されるクラスであり、次の制約が追加されます。

• 任意の入力で最大1つの計算パスを受け入れます。

この問題は、2003年の複雑さのブログで述べられています。

既知：

Hemaspaandra、Naik、Ogiwara、およびSelman の結果は、次のステートメントが成り立つ場合、多項式階層が第2レベルに崩壊することを示しています。

• ある言語の各式のためにそのような SATにおいて、あるユニーク満足割り当てとにおける。 L ϕ x （ϕ 、x ）$\mathsf{NP}$$L$$\phi$$x$$(\phi,x)$$L$

未知の：

起こりそうにない崩壊または分離。

関連記事：構文クラスとセマンティッククラス、およびUPとNPの詳細。