帯域幅最小化の複雑さについて

グラフの帯域幅の問題は次のように定義されます。与えられたグラフ、レイアウトのの頂点の1対1のマッピングである整数へ。の帯域幅は次のように定義されます$G=(V,E)$ $f$$G$$G$$\{1, \ldots, |V|\}$$f$

$bw(f) = \max \{|f(u) - f(v)| \mid \{u,v\} \in E\}$。

帯域幅$G$、で示さ、レイアウトの最小帯域幅として定義され、最小値は、すべての可能なレイアウトにわたって取られます。$bw(G)$

決定問題は、グラフと整数与えられた場合、ですか？$G$$k$$bw(G) \le k$

この問題は、最大次数3のツリーでさえNP完全であることが知られています[ 帯域幅最小化の複雑さの結果。Garey、Graham、Johnson、Knuth、SIAM J. Appl。Math。、Vol。34、No.3、1978]。著者は、グラフの帯域幅が多項式時間で最大2つであるかどうかをテストできることを示しています。ケース$bw \le 3$が開かれました。

ケースbw \ le 3の複雑さは$bw \le 3$わかっていますか？$k$が入力の一部ではなく、少なくとも4の固定定数である場合、問題の複雑さについて何を知ってい$4$ますか？

参照がいいでしょう。

帯域幅の問題は、すべてのに対して -hardです。それはBodlaender等によって示されました。「制限された幅の問題に対するNP完全性を超えて」。論文を参照してください。$W[t]$$t$

一方、任意のについて、与えられたグラフが最大帯域幅を持っているかどうかは、時間で決定できることも知られています。これは、帯域幅の問題がことを意味し。Saxeによる別の論文を参照してください。$k$$k$$O(f(k)n^{k+1})$$XP$