NP完全問題の準指数時間アルゴリズムはありますか？

準指数時間アルゴリズムであることが証明されているNP完全問題はありますか？

ここでは、一般的なケースの入力を求めていますが、扱いやすい特別なケースについては説明していません。

部分指数とは、多項式より上の成長の順序を意味しますが、指数的ではありません、たとえば。$n^{\log n}$

サブ指数の意味に依存します。以下では、「準指数関数」のいくつかの意味とそれぞれの場合に何が起こるかを説明します。これらの各クラスは、その下のクラスに含まれています。

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I.$2^{n^{o(1)}}$

準指数でを意味する場合、ETH（指数時間仮説）と呼ばれる複雑性理論の推測は、 -hard問題は実行時間のアルゴリズムを持たないことを意味します。。$2^{n^{o(1)}}$$\mathsf{NP}$$2^{n^{o(1)}}$

このクラスは、多項式による合成のもとで閉じられることに注意してください。困難な問題の部分指数時間アルゴリズムがある場合、SATから多項式時間の削減と組み合わせて、ETHに違反する3SATの部分指数アルゴリズムを取得できます。$\mathsf{NP}$

II。、つまり、すべてのに対して$\bigcap_{0 < \epsilon} 2^{O(n^\epsilon)}$$2^{O(n^\epsilon)}$ $0 < \epsilon$

状況は前の状況と似ています。

これは多項式の下で閉じられているため、ETHに違反することなく、困難な問題を今回解決することはできません。$\mathsf{NP}$

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III。、つまり一部のに対して$\bigcup_{\epsilon < 1} 2^{O(n^\epsilon)}$$2^{O(n^\epsilon)}$ $\epsilon < 1$

部分指数で、一部のに対してを意味する場合、答えは「はい」であり、そのような問題がある可能性があります。$2^{O(n^\epsilon)}$$\epsilon<1$

-SATのような完全な問題を取り上げます。時間で実行されるブルートフォースアルゴリズムがあります。次に、サイズ文字列を入力に追加して、SATの埋め込みバージョンを検討します。$\mathsf{NP}$$2^{O(n)}$$n^k$

$$SAT' = \{\langle \varphi,w\rangle \mid \varphi\in SAT \text{ and } |w|=|\varphi|^k \}$$

現在、この問題は -hardであり、時間で解決できます。$\mathsf{NP}$$2^{O(n^\frac{1}{k})}$

IV。$2^{o(n)}$

これには前のクラスが含まれ、答えは同様です。

V.、つまり、すべてのに対して$\bigcap_{0 < \epsilon}2^{\epsilon n}$$2^{\epsilon n}$ $\epsilon>0$

これには前のクラスが含まれ、答えは同様です。

VI。、つまり一部のに対して$\bigcup_{\epsilon < 1}2^{\epsilon n}$$2^{\epsilon n}$ $\epsilon<1$

これには前のクラスが含まれ、答えは同様です。

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準指数とはどういう意味ですか？

「多項式上記の」上限が、下限がなく、と呼ばれているsuperpolynomial。

ような関数は準多項式と呼ばれ、名前がほぼ多項式であり、指数関数的ではないことを示すように、通常、より速い成長率でより大きなクラスの関数を参照するために準指数関数が使用されます。$n^{\lg n}$

名前が示すように、「準指数」は指数より遅いことを意味します。指数関数とは、通常、クラス、またはより良いクラス（多項式による合成のもとで閉じられる）の関数を意味します。$2^{\Theta(n)}$$2^{n^{\Theta(1)}}$

準指数はこれらに近いはずですが、より小さいはずです。これを行うにはさまざまな方法があり、標準的な意味はありません。指数の2つの定義でをに置き換えて、IとIVを取得できます。それらの良いところは、それらが均一に定義されていることです（上の量指定子はありません）。をすべての乗法係数に置き換えることができ、IIとVが得られます。それらはIとIVに近いですが、不均一に定義されています。最後のオプションは、交換することです乗法定数でいくつかのために。これにより、IIとVIが得られます。$\Theta$$o$$\epsilon$$\Theta$$\epsilon$$\epsilon>0$$\Theta$$\epsilon$$\epsilon<1$

どちらを準指数関数と呼ぶべきかは議論の余地があります。通常、人々は仕事に必要なものを使用し、それを準指数関数と呼びます。

私は私の個人的な好みです、それは素晴らしいクラスです：それは多項式の合成の下で閉じられ、均一に定義されています。を使用する似ています。$\mathsf{Exp}$$2^{n^{O(1)}}$

IIは、複雑度クラスの定義で使用されているようです。$\mathsf{SubExp}$

IIIは、Palの答えで言及されているアルゴリズムのような上限に使用されます。

IVも一般的です。

Vは、ETH推測を述べるために使用されます。

交差点（IIおよびV）はアルゴリズムの上限にはそれほど有用ではなく、主な用途は複雑性理論のようです。実際には、IとIIの間、またはIVとVの間に違いは見られません。私見後半の3つの定義（IV、V、VI）は敏感すぎて、特定の問題には役立つかもしれませんが、堅牢ではないため、クラスとしての有用性が低下します。堅牢性と優れたクロージャープロパティは、、、ような有名な複雑度クラスの理由の一部です。$\mathsf{L}$$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{PSpace}$およびは興味深いものです。$\mathsf{Exp}$

夏らしい

私見、主な定義はIとIIIです。IIIの意味で困難な問題に対する準指数アルゴリズムはすでにあり、ETHに違反しない限り、Iの意味でそれらを使用することはできません。$\mathsf{NP}$

いくつかをリストするだけで、実行時間はほぼまたは：$2^{O(\sqrt{n} \log n)}n^{O(1)}$$2^{O(\sqrt{n})}n^{O(1)}$

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