P、NP、および専用のチューリングマシン

私はやや新しいですが、コンピューティングと複雑性理論の分野に非常に興味があり、問題を分類する方法と、問題を解決するために使用されているマシンに問題がどの程度関連しているかについての理解を明確にしたいと思います。

私の理解

• 標準チューリングマシン-有限のアルファベット、有限の状態数、単一の右無限テープを持つチューリングマシン
• Turing-Equivalent Machine-標準のチューリングマシンをエミュレートし、エミュレートできるチューリングマシン（エミュレーションによって達成される空間と時間のトレードオフを伴うことが多い）
• P -標準チューリングマシン（上記で定義）を使用して多項式時間で解決できる問題のクラス
• NP -標準チューリング機械を使用して多項式時間で検証できる問題のクラス
• NP-complete-まだ存在する最も困難な問題。NPすべてのNP問題を多項式時間で変換できます。

私の質問

（複雑性クラスであるP、NP、NP-complete、など）アルゴリズム、またはアルゴリズムおよび機械に関連しますか？

別の言い方をすれば、チューリング同等のマシンを作成できれば（標準TMができるすべての問題を解決できますが、異なる時間/空間で）、この新しいマシンはNP-complete、入力に関する多項式、それは意味しP=NPますか？

または、NP-complete問題は、多項式時間で考えられるすべてのチューリングマシンで解決可能でなければなりませんPか？

または、上記の基本的な何かを誤解していますか？

私は見ていた（おそらく正しい検索用語ではなく、すべての専門用語をよく知らない）が、ほとんどの講義/メモなどは標準的なマシンに焦点を当てているようですが、カスタムマシンにはしばしば時間/空間速度があると言います複雑さのクラスにどのように影響するかは言うまでもなく、スペース/時間を犠牲にして。私はまだこの分野の専門用語に十分な知識がなく、これを説明する論文を見つけることができません。

アルゴリズムとマシンはあなたの質問で定義されていません。あなたが尋ねたいことを尋ねるのにそれらが必要だとは思いません。

複雑性クラスは、チューリングマシンを使用して定義されます。それが彼らの定義です。何かを証明したい場合は、これらの定義を使用する必要があります。他のモデルについては、そのモデルとチューリングマシン間の対応を証明しない限り、何も関係ありません。

「合理的な」「機械」の「効率的な」「計算」が同じ数の理論関数をキャプチャすると言う仮説があることを付け加えておきます。しかし、引用された用語を定義しない限り、それは証明可能な声明ではありません。すべてのマシンではなく、多くのマシンで証明できます。チューリングマシンと同等では十分ではありません。強くする必要があります。つまり、チューリングマシンを使用してこれらのマシンをシミュレートし、その逆も効率的に行える必要があります。いいところとN $\mathsf{P}$$\mathsf{NP}$それらは非常に堅牢なクラスです。つまり、マシンモデルの小さな違いと大きな違いはクラスを変更しません。しかし、それは常に真実です。たとえば、で解決できない問題を一定の時間で解決する基本的な操作がある、単純な新しい計算モデルを定義できます。このモデルがチューリングマシンと強く同等ではないことは明らかです。$\mathsf{P}$

上記の例は人為的なものです。しかし、現時点では、多項式時間チューリングマシンよりも実際の効率的な計算に近いと思われる計算モデルがあります。限界誤差確率的/ランダム化チューリングマシン、そのモデルの効率的なアルゴリズムはと呼ばれます。$\mathsf{BPP}$

$\mathsf{BPP}=\mathsf{P}$

$\mathsf{BQP}$$\mathsf{P}$$\mathsf{P}$

$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$

チューリングマシンの効率的なシミュレーションは、チューリングマシンの計算を効率的にシミュレートできることだけでなく、その逆も効率的であることを強調する些細なメモです（多項式時間の減速）。ただし、その入力/出力は、あるモデルから別のモデルに効率的に変換する必要があります。

些細な例：SAT問題を一定時間で解決できるが、入力としてビー玉のヒープ（単項）を使用するチューリング同等のデバイスを見つけた場合、何も結論づけることはできません。デバイスがバイナリ入力を使用している場合でも同じですが、SATのインスタンスを使用する入力形式に変換するために指数関数的な手順が必要です。

あなたの理解はとても良いです！また、Sipserの計算理論入門など、興味がある場合はテキストで詳細情報を見つけることもできます。

Church-Turing Thesisと呼ばれるこのアイデアがあります。これは、何らかの方法で計算できるものはすべて、チューリングマシンを使用して計算できます。（それは証明可能ではありませんが、単なる考え、または私たちが真実だと思う一種の自然の法則です）。

これは、多項式時間で計算できるものはすべて、チューリングマシンを使用して多項式時間で計算できるという「拡張教会チューリングテーゼ」があるためです。

最もよく知られている古典的なアルゴリズムよりも多項式よりも高速な量子コンピューティングアルゴリズムを知っているので、この推測を疑う正当な理由があります。ただし、それ以外では、構築できる古典的なマシン（チューリングマシンのバリアント）は、チューリングマシンよりも指数関数的に高速化できないと考えられます。したがって、「チューリング等価機械」が多項式時間でNP完全問題を解くアルゴリズムを実行できる場合、TMで同じ問題の多項式時間アルゴリズムに変換できるため、P = NPになります。

しかし、ある種のチューリング等価機械を考えた場合、おそらく最初にすべきことの1つは、古典的なTMを使用してそれをシミュレートする方法を見つけ出すことであり、多項式時間変換またはありません。そして、答えはほぼ間違いなくはいです。ただし、おそらく指数関数的に遅くなる可能性があります（ただし、高速ではありません。