数値を2つの四角形として書き、数値の因数を等しく書くことは難しいですか？

ましょうと次のように： $L_1$ $L_2$

$L_1=\{r:\exists x,y \in \mathbb{Z} \text{ such that } x^2+y^2=r\}$

$L_2=\{(N,M): M<N, \exists 1<d\leq M \text{ such that d|N} \}$

主張 $L_1 \leq_P L_2$

スケッチプルーフ

かどうかを知りたい場合。 $r\in L_1$

の整数解の数は、 $x^2+y^2=r$

$g(r)=\sum_{d|r}{\chi{(d)}}$ ここで、 $\chi (x)=sin(\frac{\pi x}{2})=\cases{ 1\text{ when }x\cong 1 \text{ mod }4 \\ -1 \text{ when }x\cong 3 \text{ mod }4 \\ 0 \text{ when } 2|x }$

次にです。だから答えるのは "？" せいぜい「の約数は何ですか？」 $L_1=\{r: g(r)\neq 0\}$ $r\in L_1$ $r$

$\square$

私が知りたいのは、これが逆に当てはまるかどうかです。が「is？」と答えることができるマシンを作成できるかどうかを一定の時間内に通知できるマシンがある場合、それは本当ですか？多項式時間で？ $r\in L_1$ $(M,N)\in L_2$

動機

この質問は、この質問に関する議論から生まれました。

謝罪私は本当にmath.seのメンバーで、迷子になってcs.seに迷いました。私の質問が明確で、このサイトの基準に達しているかどうかをお知らせください。訂正させていただきます。

complexity-theory time-complexity np decision-problem

— 石工
ソース

正しく使用していますか？

\leq_{P}

$\leq_P$

— メイソン

削減は正しいですが、がと「難しい」という結論は正しくありません。が最大で難しいことを示しているだけ。具体的には、は非常に制限された場合と難しいことを実際に示しています。

L_{1} \leq_{p} L_{2}

$L_1\le_p L_2$

L_{1}

$L_1$

L_{2}

$L_2$

L_{1}

$L_1$

L_{2}

$L_2$

L_{1}

$L_1$

L_{2}

$L_2$

— Shaull

「円を満足させる」代わりに、「2つの正方形の合計」とするのがよいでしょう。

— Yuval Filmus

@Shaull、私はあなたのコメントを反映するためにいくつかの言語を変更しました。

— メイソン

計算は、ランダム化された多項式時間削減まで、因数分解と同じくらい難しいことが実際に知られています。バッハ、ミラー、シャリット：除数の和、完全な数、因数分解を参照してください。

\sum_{d ∣ n} d

$\sum_{d\mid n}d$

— EmilJeřábek18年

私が知る限り、これが状況です。

メンバーシップをテストするために知られている最も効率的な方法は、を因数です。これ以上効率的なアルゴリズムは知られていないようです。 $L_1$ $r$

ただし、を証明する明白な削減はありません。つまり、を決定するマシンがあったとしても、それを因数分解に使用する簡単な方法はありません。数値を因数たい場合は、かどうかを確認できますが、これはの因数に関する1ビットの情報しか提供しません。倍数のテスト（すなわち、かどうかいくつかの整数のための）かどうかを知るように、私たちにどんな付加的な情報を与えるものではありませんかどうかを予測するのに十分ですべてのために $L_2 \le_P L_1$ $L_1$ $N$ $N \in L_1$ $N$ $N$ $cN \in L_1$ $c$ $N \in L_1$ $cN \in L_1$ $c>0$ 。他の数値をテストしても、明らかな方法では役に立たないようです。（他の数値かどうかをテストしても、場合、有用な情報は得られないようです。また、次ような別の数値を見つける方法がある場合、因数分解の方法はすでにわかっていますが、もちろんそれを行う方法はわかりません-したがって、生成方法を知っている数値が役に立たない可能性があります。の要素に関する情報。）これは証明ではありません。それは単なる波状の直感です。 $N' \in L_1$ $N'$ $\gcd(N,N') =1$ $N'$ $\gcd(N,N')\ne 1$ $N$

したがって、方がよりも簡単である可能性が高いように思われ、同じ難しさがある可能性も高いようです。この問題に関するこれ以上の結果は知りません。 $L_1$ $L_2$

— DW
ソース