HoTTの製品を教会/スコットエンコーディングに削減

だから私は現在、何人かの人と一緒にHoTTの本を読んでいます。私が目にするほとんどの帰納的な型は、同等の型のインスピレーションとして再帰子の型を取ることにより、依存する関数型とユニバースのみを含む型に還元できると主張しました。私はこれがどのように機能するかをスケッチし始めました、そしていくつかのつまずきの後に私は私が答えであると思ったものに行きました。

\cdot \times \cdot \equiv \prod_{A, B, C : U} (A \to B \to C) \to C

$\cdot \times \cdot \equiv \prod_{A, B, C : \mathcal{U}} (A \to B \to C) \to C$

(\cdot, \cdot) \equiv λ a : A . λ b : B . λ C : U . λ g : A \to B \to C . g (a) (b)

$(\cdot, \cdot) \equiv \lambda a : A. \lambda b : B. \lambda C : \mathcal{U}. \lambda g : A \to B \to C. g(a)(b)$

i n d_{A \times B} \equiv λ C . λ g . λ p . g (p r_{1} (p)) (p r_{2} (p))

$ind_{A \times B} \equiv \lambda C. \lambda g. \lambda p. g(pr_1(p))(pr_2(p))$

これは正しい定義方程式（および定義方程式は省略）を提供しますが、これは型が間違っていることを意味します。 $pr_1$ $pr_2$ $ind_{A \times B}$

{ind}_{A \times B} : \prod_{C : A \times B \to U} (\prod_{a : A} \prod_{b : B} C ((a, b))) \to \prod_{p : A \times B} C ((p r_{1} (p), p r_{2} (p)))

$\text{ind}_{A \times B} : \prod_{C : A \times B \to \mathcal{U}} (\prod_{a:A} \prod_{b:B} C((a, b))) \to \prod_{p : A \times B} C((pr_1(p), pr_2(p)))$

そして、これに対する簡単な修正はないようです。次の定義についても考えました。

i n d_{A \times B} \equiv λ C . λ g . λ p . p (C (p)) (g)

$ind_{A \times B} \equiv \lambda C. \lambda g. \lambda p. p(C(p))(g)$

しかし、これは型チェックだけではありません。

$uniq_{A \times B}$ $C((pr_1(p), pr_2(p)))$ $C(p)$ $uniq_{A \times B}$ 適切な帰納法がないと定義できないようです。そのため、本で提示されているように自分自身のIDタイプを許可しても、定義に近づくことはないでしょう。 $uniq_{A \times B}$

したがって、ここではリカーサを定義できますが、インダクタは定義できないようです。インダクタのように見えるものに近いものを定義することはできますが、完全にはできません。再帰により、このタイプを論理結合の意味とするロジックを実行できますが、不足しているように見える製品について証明することはできません。

私が主張できるような削減を行うことはできますか？つまり、製品と同じ定義式と型を持つペアリング関数とインダクターを持つ依存関数型とユニバースのみを使用して型を定義できますか？私が虚偽の主張をしたのは、私の高まる疑いです。とてもイライラするほど近づくことができたようですが、完全にはうまくいきません。それを定義できない場合、どのような種類の議論が私たちができないのかを説明していますか？HoTTブックに記載されている製品は、システムの強度を高めますか？

— ジェイク
ソース

私が理解している限りでは、通常の教会のエンコーディングは、非依存型除去（再帰）を認めるが、依存型除去（インダクタ）を認めないタイプを提供します。あなたの質問はこれに関連している可能性があります。HoTTがこれに関して何かを変更したかどうかはわかりません。

— 2017年

これは役に立ちそうです。私が理解しているように、私の質問は構造の予測計算（Coqマイナス（co）誘導）型について答えられます。これらのモデル（CiCのモデルではないCoCのモデル）を網羅しているが、何も見つからない論文を探していました。あなたはたまたまソースを持っていますか？

— ジェイク

残念ながら、共有するリファレンスはありません。私はまた、この民間伝承の事実を引用するための情報源を持つことに興味があります。

— カイ

私はまた、この事実についての民間伝承の参照を見つけ続けていますが、説明を見つけることができないようです。

— ジェイク

いい質問ですが、cstheory.stackexchange.comに

— Martin Berger

回答:

私がよく提供する標準的な参照は、誘導は型が存在しないと言うハーマン・ギバーズによる二次依存型理論では導出可能ではないということです

N : T y p e

$N : \mathrm{Type}$

Z : N S : N \to N

$Z:N\qquad S:N\rightarrow N$

そのような

i n d : Π P : N \to T y p e . P Z \to (Π m : N . P m \to P (S m)) \to Π n : N . P n

$\mathrm{ind}:\Pi P:N\rightarrow \mathrm{Type}.P\ Z\rightarrow (\Pi m:N.P\ m\rightarrow P\ (S\ m))\rightarrow \Pi n:N. P\ n$

証明可能です。これは、実際に、そのようなエンコーディングは、説明したようにペアに対して機能しないことを示唆しています。

これが証明されているシステムは、強力な製品タイプとユニバースを含む構造計算のサブセットです。この結果は、あなたが持っているものに応じて、興味のあるシステムに拡張できると思います。

残念ながら、あなたの質問に対する完全な答えはわかりません。特定のパラメトリック性の原則を「内部で」追加することが、これらのエンコーディングを完全な帰納原則で機能させるために必要なことだと私は思います。私の知識の厳密なスーパーセットである知識を持っているニールクリシュナスワミは、デレクドライアーと一緒にこれらの線に沿って論文を書きました。

構造の拡張計算における関係パラメトリック性の内部化

また、Bernardy、Jansson、およびPattersonによる次の論文も興味深いです（Bernardyはこれらのトピックについて深く考えています）。

パラメトリック性と依存タイプ

明らかに、パラメトリック性は一般にHoTTと強い関係がありますが、詳細はわかりません。エンコーディングトリックは、エリミネーターがどのように見えるべきか本当にわからない状況で役立つので、Steve Awodeyがこれらの質問を検討したと思います。

— コーディ
ソース

@codyの回答で指摘されているように、アイデアを機能させるには、何か特別なものが必要です。サム・スパイツが見る、impredicative宇宙を使用してHOTTで達成することができるものを見るためにスティーブ・アウッディーの監督の下で働いていたHOTTの中で誘導型のImpredicativeエンコーディングをブログ記事。

— アンドレイ・バウアー
ソース