検索 st is -hard for any

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ましょうすべての言語である -cnf式少なくともように、のの条項を満たすことができます。 $L_\epsilon$ $2$ $\varphi$ $(\frac{1}{2}+\epsilon)$ $\varphi$

が存在することを証明する必要がありますst is -hard for any。 $\epsilon'$ $L_\epsilon$ $\mathsf{NP}$ $\epsilon<\epsilon'$

は、削減による節のパーセントに近似できることがわかってい。これをどのように解決すればよいですか？ $\text{Max}2\text{Sat}$ $\frac{55}{56}$ $\text{Max}3\text{Sat}$

complexity-theory satisfiability approximation

— ジョニ
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Håstadは彼の有名な論文で、MAX2SATをよりも近似するのはNP困難であることを示しています。これは、一部ので、満足できるインスタンスと満足できるインスタンスを区別するのがNP困難であることを意味します。ここで、インスタンスが新しいインスタンスのフラクションになるようにパディングすることを想像してください。残りは正確に充足可能です（たとえばという形式の句のグループで構成されているとします）。数値はおよび $21/22$ $\leq \alpha$ $\geq (22/21) \alpha$ $\alpha \geq 1/2$ $p$ $1/2$ $a \land \lnot a$ $1/2 + p (\alpha - 1/2)$ $1/2 + p((22/21)\alpha - 1/2)$ 。後者の数は、必要に応じて近づけることができます。 $1/2$

— ユヴァルフィルムス
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あなたの方法は、εが任意の（しかし十分に小さい）実数であるときに機能しますか？εについて何かを想定しない限り、パディングに使用する適切な数の句を選択する方法がわかりません。（εは入力の一部ではないため、実数εを考慮すると明確に定義されていることに注意してください。）

— 伊藤剛

そこで、と間のギャップが役立ちます。が有理であると仮定して、いくつかの有理取り、あなたはうまくやるべきです。

1 / 2 + p (α - 1 / 2)

$1/2+p(\alpha-1/2)$

1 / 2 + p ((22 / 21) α - 1 / 2)

$1/2+p((22/21)\alpha-1/2)$

α

$\alpha$

p

$p$

— Yuval Filmus

ああ、どういうわけか私は最初に試したときにその方法はうまくいかないと思っていましたが、今はそれがどのように機能するかを見ています。ありがとう！

— 伊藤剛

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εが有理数であることを知っている場合は、Max-2-SATがステートメントを証明するための近似性は必要ありません。Max-2-SATのNP硬さの典型的な証明（たとえば、Papadimitriouによる計算の複雑性の教科書にあるもの）は、実際にはL _1/5の NP完全性を証明します。NP困難を証明するためにLの_ε正の有理数のためにε <1/5を、我々は減少させることができるL _1/5にLが_ε以下のよう2CNF式所与φ（のインスタンスL _1/5）、聞かせて、mがあることその中の節の数。rとしましょうSは、例えば、（1/5の正の整数であるε）MR = 2 ε sが成り立ちます。次いで2CNF式（のインスタンス構築Lの_ε繰り返すことにより）φためのR倍加算の矛盾節の対。これは実際の減少であるという単純な計算ショーL _1/5にLの_ε。

この削減は明らかに、εが有理である場合にのみ機能します。それ以外の場合、rとsは整数として解釈できないためです。Yuval Filmusが彼の回答で書いたように、εが必ずしも合理的ではない一般的なケースは、近似性を必要とするようです。

— 伊藤剛
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