NP完全問題のサブセットをPに含めることはできますか？

問題は、すべての入力データに対して（例外なく）NP完全（証明済み）です。

P！= NPと仮定します。

問題の（無限に大きい）サブセットがあり、このサブセットがPにある可能性はありますか？

理論的な質問。

あなたの質問は意味がありません：

問題は、すべての入力データに対して（例外なく）NP完全（証明済み）です。

これは事ではありません。NP完全性は、特定の入力ではなく、セット全体のプロパティです。それはあなたが特定の入力を選択した場合、それを示すために、かなり些細ませんいずれかの問題があるその入力に：あなただけの出力yesまたはno、あなたの入力のための正しいいる異なります。これを行うと、すべてのアルゴリズム分析が失敗し、すべてが役に立たなくなります。したがって、これは行いません。$O(1)$

$P$、、完全性、多項式時間などはすべて、漸近的な複雑性に関連しています。入力のサイズが大きくなると、ランタイムはどのように大きくなりますか？これは、さまざまな入力を見た場合にのみ意味があります。微積分の点の導関数が点を囲む曲線を考慮に入れるプロパティと同じように。$NP$$NP$

P！= NPと仮定します。

繰り返しますが、これはあなたの答えには影響しません。場合は、その後、すべてのセットがある -complete、^*そうでサブセットの束がある。場合、人々が示した例はすべて有効です。$P = NP$$P$$NP$$P$$P=NP$

問題のサブセット（無限に大きい）がある可能性はありますか？この問題はPにありますか？

はい、そして他の答えはこれの素晴らしい例を与えました。しかし、後世のために、ここにさらに別の反例があります。

• $k$入力としてを取る場合、 -coloringは -completeですが、 -coloringはこの無限のサブセットです。$NP$$k$$2$$P$

^{*および *を除きます。これらは、完全性を定義するために使用する簡約の形式に関連する技術的な理由により、完全ではありません。$\emptyset$$\Sigma^*$$NP$}

実際、NP完全問題の無限の一定時間の決定可能なサブセットさえあるので、P NP$\,\neq\,$仮説は必要ありません。いずれかのためにNP -complete言語、聞かせて。  は依然としてNP完全（からの自明な縮約  ）ですが、始まるすべての文字列の無限の一定時間の決定可能なサブセットが含まれています  。$L\subseteq\{0,1\}^*$$L' = \{0w\mid w\in L\}\cup\{1w\mid w\in\{0,1\}^*\}$$L'$$L$$1$

あなたの質問を理解しているように、はい、これは可能です。例として、否定のないすべての充足可能な式を含むSATの（無限に大きい）サブセットを考えます。このサブセットは簡単にPにあります。

問題を例にとると、これは一般的にですが、ツリー（無限にある）の場合は$\mathsf{3\text{-}Coloring}$$\mathsf{NP\text{-}Complete}$$\mathsf{P\text{}}$

グラフのカラーリング、最大クリーク、最大独立セットは -complete（決定バージョン）ですが、完全なグラフでは多項式です。$\mathcal{NP}$

巡回セールスマンの問題を考えてみましょう。n個の都市、各都市間の距離、および限界dが与えられます。各都市に一度触れてから、全長≤dで出発地点に戻るルートはありますか？

都市と距離のセットでは、dの値が小さい（距離によっては「小さい」）ため、解がないことを簡単に示すことができます。dの値が大きい場合は、解を見つけるのが簡単です。したがって、dが多項式時間で任意のインスタンスを解くことができる十分に大きいか小さい問題のサブセットを見つけることができます。