すべての州が受け入れるNFAの普遍性問題の複雑さはどのくらいですか？

NFAの普遍性の問題（かどうかの決定）がことはよく知られています。しかし、NFAのすべての州が受け入れていることがわかっている場合はどうなりますか？反例（一般的なNFAの場合とは異なります）は入力のサイズ（状態数）が多項式（線形であっても）であるため、問題はせいぜい -にあるようです。この問題の複雑さは何ですか？ $L(A)=\Sigma^*$ $PSPACE$ $co$ $NP$

complexity-theory regular-languages finite-automata

— pron
ソース

私の証明に問題がない限り、co-NP = PSPACEであることを暗示するため、問題がco-NPである可能性はほとんどありません。反例（つまり、拒否された単語）は実際にそのサイズの時間多項式でチェックされる可能性があるため、多項式サイズの反例が常に存在するという証明には問題があるはずだと言いたくなるでしょう。このような多項式サイズの反例をどのように見つけるか説明していただけますか？考えられる唯一のことは、遷移関数が完全ではない状態への最短経路を探すことでしたが、機能する別の経路が存在する可能性があります...

— xavierm02

最短の反例が多項式サイズであることは事実ではありません。初期状態が長さサイクルに接続されているNFAを考えます。が奇数で倍数である場合にのみ、単語が受け入れられないようます。最初の素数になるを選択することで、最短の拒否された単語の長さがである状態のNFAを取得し。

2, p_{1}, \dots, p_{m}

$2,p_1,\ldots,p_m$

1^{n} 0

$1^n0$

n

$n$

p_{1}, \dots, p_{m}

$p_1,\ldots,p_m$

p_{i}

$p_i$

m + 1

$m+1$

O (m^{2} \log m)

$O(m^2\log m)$

e^{(1 + o (1)) m \log m}

$e^{(1+o(1))m\log m}$

— Yuval Filmus、2017

SATからの単純な削減は、問題が確かにcoNP困難であることを示しています。NFAは、条項に従って部分に分かれています。各部分は、代入とそれに続くで構成される入力が句を満たしているかどうかをチェックし、満たしている場合は最後ので止まります。このNFAは、SATインスタンスが満足できる場合に限り、普遍的ではありません。

$

$\$$

$

$\$$

— Yuval Filmus、2017

@YuvalFilmusあなたは反例に関して正しいですが、結局私は問題を誤って説明しました。は連続する文字が繰り返される単語がないことを知っています。連続する文字が繰り返されないすべての単語に対して普遍性を探しています。その場合も指数反例はありますか？

L (A)

$L(A)$

— 2017

また@YuvalFilmus、アルファベット、状態+ 1の数よりも大きくはありません

— PRON

問題はPSPACE完全です。私は、NFAの普遍性をすべての州が受け入れるNFAの普遍性に減らすことによって、PSPACEが難しいことを証明します。

してみましょう NFAなります。新しい最終状態の追加それにし、すべての受理状態のためトランジションを追加し、、新鮮な文字です。すべての文字に対して、遷移も追加します。そして、すべての州を受け入れます。新しいオートマトンはをいくつかの受け入れます。 $A$ $q_\$$ $q$ $q\overset{\$}{\to}q_\$$ $\$$ $a\in \Sigma\sqcup \{\$\}$ $q_\$\overset{a}{\to}q_\$$ $L(A)\$ (\Sigma\sqcup \{\$\})^* \sqcup L'$ $L'\subseteq \Sigma^*$

次に、（つまり含まない単語の言語）という言語を並行して認識するオートマトン（すべての状態がfinalの状態）を追加します。新しいオートマトンは。 $\Sigma ^*$ $\$$ $L(A)\$ (\Sigma\sqcup \{\$\})^* \sqcup (L' \cup \Sigma ^*)=L(A)\$ (\Sigma\sqcup \{\$\})^* \sqcup \Sigma ^*$

ここで、 iff。つまり、私が説明したプロセスは、NFAの普遍性から、すべての国が受け入れるNFAの普遍性への還元です。削減は多項式であるため、問題はPSPACE困難です。 $L(A)=\Sigma^*$ $L(A)\$ (\Sigma\sqcup \{\$\})^* \sqcup \Sigma ^*=(\Sigma\sqcup\{\$\})^*$

— xavierm02
ソース

すべての州が受け入れている NFAをどのように構築しますか？

Σ^{*} ∖ Σ^{*} $

$\Sigma^* \setminus \Sigma^*\$$

— Yuval Filmus、2017

ありがとう、それは素晴らしい削減であり、確かに私の質問に答えます。しかし、私はこれまでに削減できると思っていた別のより複雑な質問を念頭に置いており、@ YuvalFilmusの指数的な反例から、自分の削減が間違っていることがわかり、文字が繰り返されている単語は含まれていません。そのような単語について「汎用性」をチェックしています。

L (A)

$L(A)$

— 2017

@pron「繰り返し文字のある単語」とはどういう意味ですか？そのまたはその？

u = v_{1} a a v_{2}

$u=v_1aav_2$

u = v_{1} a v_{2} a v_{3}

$u=v_1av_2av_3$

— xavierm02 2017

@ xavierm02最初の1つ、つまり連続した繰り返し文字がない。その場合も指数反例はありますか？

— 2017

@ xavierm02また、アルファベットは状態+ 1の数よりも大きいん

— PRON