kクリーク問題はNP完全ですか？

グラフ理論のクリーク問題に関するこのウィキペディアの記事では、グラフGでサイズKのクリークを見つける問題はNP完全であると最初に述べています。

クリークはコンピューターサイエンスでも研究されています。グラフに特定のサイズのクリークがあるかどうかを調べること（クリーク問題）はNP完全ですが、この困難な結果にもかかわらず、クリークを見つけるための多くのアルゴリズムが研究されています。

しかし、CSのClique問題に関するこの他のWikipediaの記事 では、固定サイズkの問題はPの問題であり、多項式時間でブルートフォースされる可能性があると述べています。

グラフGにk頂点クリークが含まれているかどうかをテストし、それが含むクリークを見つけるには、少なくともk個の頂点を持つ各サブグラフを調べて、クリークを形成するかどうかを確認します。このアルゴリズムには時間がかかりますO（n ^ kk ^ 2）：チェックするO（n ^ k）サブグラフがあり、それぞれにGの存在をチェックする必要があるO（k ^ 2）エッジがあります。したがって、kが固定定数である場合は常に、多項式時間で問題を解決できます。ただし、kが問題への入力の一部である場合、時間は指数関数的です。

ここに足りないものはありますか？たぶん問題の文言に違いはありますか？そして、最後の文は何を意味しますか、「kが問題への入力の一部であるとき、しかし、時間は指数関数的です。」？kが問題への入力の一部であるのに、なぜ違いがあるのですか？

私の考えは、グラフGでサイズkのクリークを見つけるには、最初にGからノードのサイズkのサブセットを選択し、それらがすべて他のkノードに関連しているかどうかをテストすることです。時間。そして、サイズkのクリークができるまでこれを繰り返します。Gから選択できるkノードのセットの数はnです！/ k！*（nk）!.

とき：ちょうど@Lamineが指摘どんな工夫入力の一部であり、kは限り大きくすることができ$k$$k$、その場合、潜在的なクリークセットの数は（$\frac{n}{2}$少なくとも（$\binom{n}{\frac{n}{2}}$。したがって、単純なアルゴリズムには2n時間かかります$\left( \frac{n}{\frac{n}{2}} \right)^{\frac{n}{2}}$入力長が明らかに指数関数的である 2 | x| +| k| =n+logn。パラメータ化されたバージョン$2^{\frac{n}{2}}$$|x|+|k|=n+\log n$我々が探している場合のkに-cliques N -vertexグラフキャプチャので、その最も一般形で問題の硬度 kは入力の一部です。したがって、 G （n 、k ）のポリタイムアルゴリズムは、特定の kのポリタイムアルゴリズムも意味します。$G(n,k)$$k$$n$$k$$G(n,k)$$k$