多項式時間では解けるが、多項式時間では検証できないタスクはありますか？

私の同僚と私はちょうど私たちの教授の一人のいくつかのメモを打ちました。メモには、多項式時間で解くことができる（PFのクラスにある）が、多項式時間では検証できない（NPFのクラスにない）タスクがあると述べられています。

これらのクラスについて詳しく説明するために、入力Xを取得し、出力Xを生成して、（X、Y）がタスクRを表す関係Rになるようにします。多項式時間でXのYを取得できる場合、タスクはPFのクラスに属します。タプル（X、Y）が多項式時間で関係Rにあることを証明する多項式長の証明書Zを検証できる場合、タスクはNPFのクラスに属します。

答えが単純にYESまたはNOである（特定の文字列が特定の言語に属する場合、より正式には）決定問題については話していません。決定問題の場合、PFはNPFの適切なサブセットであるように見えます。ただし、他のタスクでは異なる場合があります。

多項式時間では解けるが、多項式時間では検証できないタスクを知っていますか？

complexity-theory np

— ドロジ
ソース

おそらく誤解されているかもしれませんが、なぜ次は多項式時間検証アルゴリズムではないのですか？与えられた場合、多項式時間アルゴリズムを使用して関数自分で計算し、場合は「正しい」を返します。あなたが誤解したり、教授が誤解したりして、代わりに多項式時間では検証可能であるが多項式時間では解決できない問題があると言うことを意図していた可能性はありますか？

(x, y)

$(x,y)$

f (x)

$f(x)$

f (x) = y

$f(x)=y$

— リューベヴィンクハイゼン16

@LieuweVinkhuijzen「多項式時間では検証可能であるが、多項式時間では解決できない問題があると言うには？」[参照。必要]

— T. Verron

@ T.Verron母、はい、私もこの主張に対する教授の証明を見てとてもうれしいです;）

— Lieuwe Vinkhuijzen

回答:

これは、特定の入力に対して許容可能な出力が多数ある場合にのみ可能です。すなわち、リレーションが一意性に違反するため関数ではない場合。 $R$

たとえば、次の問題を考慮してください。

所与（単項で表される）とTM、生成他TMようにと（ここで、符号化を表します（から自然数へのゲーデル数） $n \in \mathbb{N}$ $M$ $N$ $L(M)=L(N)$ $\# N > n$ $\# N$ $N$

これを解決するのは簡単です。エンコーディングがを超えるまで、いくつかの冗長な状態をTMに追加し、おそらくそれらの間にいくつかのダミー遷移を追加し続けます。これは、TMでのパディング補題の基本的な繰り返し適用です。これにはパディングが必要で、それぞれが1つの状態を追加できるため、多項式時間で実行できます。 $M$ $n$ $n$

一方、与えられたが入力正しい出力であるかどうかを確認することはできません。実際、チェックすることは決定できず（ライス定理を適用します）、制約はそれらから有限の多くののみを破棄します。決定できない問題から有限量の要素を削除するため、決定できない問題が発生します。 $n,M,N$ $N$ $n,M$ $L(M)=L(N)$ $\#N > n$ $N$

また、未決定のプロパティを置き換えて、計算可能であるがNPハード/完全なバリエーションを取得することもできます。例えば、（単項）が与えられた、クリークを内部に持つグラフを計算するのは簡単です。しかし与えられると、クリークが存在するかどうかを確認するのは困難です。 $L(M)=L(N)$ $n$ $G$ $n$ $n,G$ $n$

— チー
ソース

これは当てはまらないと予想されていました。素晴らしい答えです！

— フィリップハグランド

これは質問に答えません。OPは、通常の意味では検証不可能な問題を明確に要求しました。そこでは、入力と疑惑のある回答に加えて、回答の正しさを証明する証明書を取得します。あなたの場合、証明書は、新しい同等のチューリングマシンを非決定的に生成するために使用されるビットです。与えられたおよび、いるかどうかを確認することは容易である、マシン与え。なければ、問題は（NPC）言語のハードインスタンスを簡単に生成できるかどうかです。これは、MinicryptとCryptomaniaでのみ当てはまります。

z

$z$

M, N

$M, N$

z

$z$

z

$z$

M

$M$

z

$z$

— リューウェヴィンクハイゼン16

@chiすべてのペアを認証できるわけではありませんが、アルゴリズムによって生成されたペアセットは認証できます。証明書は、からを生成するアルゴリズムのトランスクリプトです（たとえば、「で開始し、この状態を追加し、この遷移を追加し、次に...とvoilà、！」）。一般的に、がで常に許容可能な計算する非決定的アルゴリズムである場合、計算パスのトランスクリプトは、指定されたが許容可能であるという証明書です。

M, N

$M, N$

M, N

$M, N$

N

$N$

M

$M$

M

$M$

N

$N$

T

$T$

x

$x$

y

$y$

T (x)

$T(x)$

y

$y$

— Lieuwe Vinkhuijzen

@chi質問にはわずかなニュアンスがあります。任意の関係について、許容されるすべてのが証明可能というわけではない可能性があり、エレガントな例を挙げます。ただし、この質問では、許容できるが認証できない関係が存在するかどうかは尋ねません（例では答えはyesです）。代わりに、許容できる認証できない出力を生成するアルゴリズムがあるかどうかを尋ねます。上記の議論のため、ここでの答えはnoでなければなりません。

R

$R$

y

$y$

— リューベヴィンクハイゼン16

@chi OPが何を求めたのかわかりませんが、それでもあなたの答えは非常に明るく、何かを学びました！質問はあなたのやり方で読むことができます、または「一方向関数が存在しますか？」（おそらく）または「NP問題の難しいインスタンスは簡単に生成できますか？」（RSAの場合はそうです）私はそれを読むようにして、 " ある？ $NP\subsetneq P$ "（なし）。

— リューベヴィンクハイゼン

これは、@ chiの答えの最初の文の精緻化にすぎません。なぜなら、私はそれを明白に見つけられなかったからです。

アイデアは、多項式時間で問題の答えを見つけるアルゴリズムがある場合、2つの可能性があります。

以前に（数学的に）アルゴリズムの出力が問題の解決策であることを証明しました。その場合、アルゴリズムのステップ自体が正確性の証明を形成します。
出力が実際に解決策であることを確認するための別のアルゴリズムがあります。その場合、このアルゴリズムを実行する必要があります（そうでない場合は、ケース＃1に該当します）。

したがって、このような問題は発生しません。

— メールダード
ソース

＃2がわかりません。異なるアルゴリズムが多項式時間で実行されることを何が意味しますか？

— アルバートヘンドリックス

@AlbertHendriks：検証が多項式時間で実行されなかった場合、元のソルバーは、検証を実行して解が正しいことを確認する必要があるため、多項式時間で正しい解を見つけたと主張できませんでした。

— Mehrdad