結果

我々が知っている等価であり、多項式階層に崩壊番目のレベル。

他の自明でない崩壊と結果は何ですか？

$\newcommand{\co}{\mathsf{co}\text{-}}$ $\newcommand{\class}[1]{\mathsf{#1}}$

場合次に、最初のレベル、すなわちに崩壊有する。$\class{PP}=\class{RP}$$\class{PH}=\class{NP}$

仮定ため、我々は補体の下では閉じている従って、。$\class{PP}=\class{RP}$$\class{PP}$$\mathsf{RP}=\co{\class{RP}}=\class{ZPP}$$\class{PP}=\class{ZPP}$

戸田の定理を使う：

$\class{PH}\subseteq\class{P^{\class{PP}}}=\class{P}^{\class{ZPP}}=\class{ZPP}\subseteq{\class{NP}}$。

場合、実際にはより強力なものが得られ、階層は縮小されます。$\class{PP}=\class{RP}$$\class{ZPP}$

実際、戸田の定理よりも単純な引数を使用して、カウント階層がに折りたたまれ、になることを示すことができます。$\class{ZPP}$$\class{PH}\subseteq\class{CH}\subseteq\class{ZPP}$

魅力的な議論は、であり、自体が低いため、次に、は折りたたまれます。これがため、明らかに偽であるチューリングマシン（タイプの特定の種類によって「決定可能」言語のセットでと）は、Oracleのを意味しません。見る$\class{PP}=\class{ZPP}$$\class{ZPP}$$\class{ZPP}^{\class{ZPP}}=\class{ZPP}$$\class{PP}^{\class{PP}}=\class{ZPP}^{\class{ZPP}}=\class{ZPP}$$\class{CH}$$\class{ZPP}$$\class{A}=\class{B}$$\class{A},\class{B}$$\class{A}$$\class{B}$$\class{A}^{\mathcal{O}}=\class{B}^{\mathcal{O}}$$\mathcal{O}$詳細については、この回答。

（もちろん、の元の仮定の下で）を取得するために実際に表示する必要があるのは、その場合は低くなり。つまり、です。これが成り立つ場合、、つまり。幸い、これはそれほど難しくありません（がに対して低い場合に強化することもできます）。$\class{CH}\subseteq{ZPP}$$\class{PP}=\class{RP})$$\class{ZPP}$$\class{PP}$$\class{PP}^{\class{ZPP}}=\class{PP}$$\class{PP}^{\class{PP}}=\class{PP}^{\class{ZPP}}=\class{PP}=\class{ZPP}$$\class{CH}\subseteq\class{ZPP}$$\class{BPP}$$\class{PP}$

ましょで言語である、その後にアクセスできるマシンをチューリング確率的多項式時間が存在するオラクルを呼び出し、。$L$$\class{PP}^{\class{ZPP}}$$\class{ZPP}$$\mathcal{O}$$M_{\mathcal{O}}$

$x\in L\Rightarrow \Pr\left[M_{\mathcal{O}} \text{ accepts x}\right]>\frac{1}{2}$、および

$x\notin L\Rightarrow \Pr\left[M_{\mathcal{O}} \text{ accepts x}\right]\le\frac{1}{2}-\frac{1}{2^{n^c}}$。

ここで、はの実行時間です（標準の定義では、2番目の不等式はで表示されますが、および上記のように）。$n^c$$M_{\mathcal{O}}$$\le\frac{1}{2}$$<\frac{1}{2}$

を決定するTuringマシンがランタイム期待していたと仮定します。今、私たちはマシンを見てみましょうの各Oracleコール置き換え、することによりシミュレーションのステップのためにマシンを、このシミュレーションに繰り返す回。このプロセスで結果が返されなかった（ステップのシミュレーションが停止しなかった）oracleの呼び出しに遭遇した場合、は拒否します。$\mathcal{O}$$n^d$$M$$M_{\mathcal{O}}$$t$$\class{ZPP}$$\mathcal{O}$$k$$k$ $t$$M$

してみましょう、その後、シミュレーションの全てが与えられた時間で停止した場合を示します。$H$

$\Pr\left[\text{M accepts x}\right]=\Pr\left[\text{M accepts x} | H\right]\Pr[H]+\Pr\left[\text{M accepts x}\Big| \overline{H}\right]\Pr\left[\overline{H}\right]=\Pr\left[\text{M accepts x} | H\right]\Pr[H]=\Pr\left[M_{\mathcal{O}} \text{ accepts x}\right]\Pr[H]$。

したがって、次のようになります。

$x\in L\Rightarrow \Pr\left[\text{M accepts x}\right]>\frac{1}{2}\Pr[H]$、および

$x\notin L\Rightarrow \Pr\left[\text{M accepts x}\right]\le\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2^{n^c}}\right)\Pr[H]\le \frac{1}{2}-\frac{1}{2^{n^c}}$。

マルコフの不等式により、単一のシミュレーションは確率で停止しないため、ステップのシミュレーションは確率。ユニオンバウンドにより、、および。この場合、は次の分離を実現します。$\le \frac{n^d}{t}$$k$ $t$$\le \left(\frac{n^{d}}{t}\right)^k$$\Pr[H]\ge 1-n^c\left(\frac{n^{d}}{t}\right)^k\ge 1-\frac{1}{2^{n^c}}$$t=2n^d$$k=2n^c$$M$

$x\in L\Rightarrow \Pr\left[\text{M accepts x}\right]>\frac{1}{2}\left(1-2^{-n^c}\right)$、および

$x\notin L\Rightarrow \Pr\left[\text{M accepts x}\right]\le \frac{1}{2}-2^{-n^c}<\frac{1}{2}-\frac{1}{2}2^{-n^c}$

定数を任意の関数置き換えることができるため、これはを証明します。を任意の有理定数で置き換えることができる理由の証明については、この質問を参照してください。また、すぐに一般化されて任意のになることがわかります。$L\in \class{PP}$$\frac{1}{2}$$f(x)\in \class{FP}$$\frac{1}{2}$$f\in \class{FP}$