P⊆NPの1文の証明

最近、私はドキュメント[1]を読んでいます。このドキュメントでは、クック教授が簡単な証明を提供しています。$\mathbf{P} \subseteq \mathbf{NP}$

であることを示すのは簡単ですが超える各言語では、場合、多項式時間チェック関係定義できるからです。 by for all。$\mathbf{P} \subseteq \mathbf{NP}$$L$$\Sigma$$L \in \mathbf{P}$$R \subseteq \Sigma^* \cup \Sigma^*$

$$R(w, y) \Longleftrightarrow w \in L$$ $w, y \in \Sigma^*$

[1]のように、との定義を知っていますが、それでもこの証明を理解できません。誰かが証拠を私に説明できますか？一文でもいいです。$\mathbf{P}$$\mathbf{NP}$

ちなみに、はすべきだと思います。私は正しいですか？$\Sigma^* \cup \Sigma^*$$\Sigma^* \times \Sigma^*$

参照

[1] S.クック、P対NP問題、[オンライン] http://www.claymath.org/sites/default/files/pvsnp.pdf。

LはP内にあるため、多項式時間で問題という単語に答えることができます。LもNPにあることを示すには、次のような多項式チェック関係を提供する必要があります。$R$

今、クック教授は非常に単純なを取ると言います。すべてのためにで何に関係なく、あなたが取る、真であり、すべてのためにではありません、関係なく、偽である。をまったく見なくても、多項式時間（以降）でかどうかを判断できるため、これは多項式時間関係です。そして、どのでも機能するように、上記の定義の長さ制限を満たすのに十分短いもあります。$R$$w$$L$$y\in \Sigma^*$$R(w,y)$$w$$L$$R(w,y)$$y$$w\in L$$L \in P$$y$$y$$y$

$P=\{L : L\ \text{is decided by a }\mathbf{deterministic}\text{ Turing machine in polynomial time}\}$

$NP=\{L : L\text{ is decided by a (possibly non-deterministic) Turing machine in polynomial time}\}$

これらの定義により、はかなり明白になります。$P\subseteq NP$

Call呼び出しましょうここで、と。ここでの考え方は、は「実際の」入力であり、は、なぜを受け入れる必要があるかを知るのに役立ついくつかの追加情報であるということです。たとえば、問題が場合、は式で、は評価になります。$\widetilde{NP}=\{L : \text{There is some } R \text{ so that } L_R\in P\}$$R\subseteq \Sigma^*\times \Sigma'^*$$L_R=\{u\#v : (u,v)\in R\}$$u$$v$$u$$SAT$$u$$v$

• $\widetilde{NP}\subseteq NP$：を推測し、確認します。$v$$u\#v$

• $NP\subseteq\widetilde{NP}$：与えられると、はを受け入れる実行で行われる遷移のリストになります。を検証するには、を使用して非決定性を削除しながら、非決定性マシンの実行をシミュレートする必要があります。$u$$v$$u$$u\#v$$u$$v$

あなたが言及している証拠は、あり、削除する性がないため、は必要ないということだけです。$P\subseteq \widetilde{NP}$$v$

そして、はい、それはであるべきです。$\Sigma^* \times \Sigma^*$