P

これは非常に馬鹿げた（または明白すぎて明言できない）質問のように思えます。しかし、ある時点で混乱しています。

私たちは、その表示することができますPが NP$=$場合にのみ、我々は問題の任意のインスタンス解くアルゴリズム設計することができた場合にNPを多項式時間では。

しかし、P NPであることをどのように証明できるのか、私にはわかりません。あまり関係がないかもしれないので、次のように言い訳してください。しかし、PがNPと等しくないかどうかを証明するように誰かに言うことは、神が存在しないことを証明するように誰かに言うように思えます。$\neq$

一連の問題があり、それらは現在の技術に関係なく、多項式の状態数を持つ非決定性有限オートマトン（NFA）で解決することはできません（これはだらしない定義です）。さらに、いくつかの重要な問題（最短パス、最小スパニングツリー、整数の合計）を多項式時間問題にするかなり大きなアルゴリズムセットがあります。$1 + 2 + \dots + n$

要するに、P NP$=$であると信じるなら、「多項式時間でNP問題を解くアルゴリズムを見せてください」と言うでしょう。P NPであると信じているとします。次に、あなたは正確に何を尋ねますか？あなたは私に何を見せたいですか？$\neq$

答えは明らかに「あなたの証拠」です。しかし、アルゴリズムが存在できないことをどのような証拠が示していますか？（この場合、NP問題の多項式時間アルゴリズム）

私が知っている3つの主な方法があり、それがP$\,\neq\,$NP。

1. $\Omega(n\log n)$$n$$O(n^c)$$c$回路の複雑さも別の問題です。

2. ことを示すPと  NPは、異なる構造特性を持っています。たとえば、P  は補完の下で閉じられます。そのNPを表示できる場合$\,\neq\,$co-NP（つまり、NP  が補完の下で閉じられていない）、Pでなければならない$\,\neq\,$NP。もちろん、これは問題を1つ深いレベルに押し上げているだけです。NPをどのように証明しますか$\,\neq\,$co-NP？

   $\exists\mathrm{SO}$

3. いくつかの問題がNP完全ではないことを証明します。もしP$\,=\,$$\emptyset$$\Sigma^*$ $\,\neq\,$NP。

要するに、P = NPであると信じるなら、「多項式時間でNP問題を解くアルゴリズムを見せてください」と言うでしょう。

アルゴリズムが問題を解決し、多項式時間で実行されることをまだ証明する必要があることを忘れないでください。

P≠NPであると信じているとします。次に、あなたは正確に何を尋ねますか？あなたは私に何を見せたいですか？

まず、「なぜ」P≠NPを説明し、適切な論理フレームワークでこの理由を使用してP≠NPを証明できる理由を説明してください。次に、証拠をスケッチし、その最も疑わしい部分をどのように防御できるかを説明します。次に、この証明をより簡単なステートメントに分解し、独立して検証できます。

• たとえば、ZFCが提供する論理フレームワークは、（明示的に与えられた公理のセット、多くの場合追加のメタロジカルプロパティさえ満たす）モデルの存在を証明するのに優れています（ある意味ではあまりにも優れています）。そのため、奇妙な特性を持つモデルの存在に関連するP≠NPの理由がわかっている場合は、まずこの理由を説明し、次に対応するモデルがZFC内でどのように構築されるかを示します。
• 非例として、「なぜ」P≠NPなのかという理由の1つは、数学がランダム性を含む物理世界で発生するほぼすべてを近似できるからだと思います。ただし、形式システムは、与えられた文字列、数、「オブジェクト」、または「アーティファクト」を本質的にランダムであると証明する能力が非常に限られていることが知られているため、この理由が証明に使用される可能性は低い明示的に指定された決定的形式システム。確率的（量子）証明システムを設計した場合、使用可能な物理リソースに応じて、システム内の特定の証明を有限確率までしか検証できないかもしれません...
• 非例として、除外された中間の法則は基本的に（数学的な）宇宙の静的な見解を反映しているため、動的な宇宙では成り立たないでしょう。今、NP = CONP（または多項式階層の他の崩壊は）基本的には時間複雑に関して排中律のおおよそのバージョンになりますが、これを可能にするための時間の複雑さが近すぎる力学宇宙にあります。宇宙の動的な側面を捉えることができるジラードの線形論理のような論理フレームワークがあります。しかし、ブラウワーは同様の状況にあり、ヒルベルトのプログラムの必要な失敗を彼の就任演説の直観主義と形式主義ですでに述べていることに注意してください 1912年（なぜそれが循環推論になるのかを説明する）が、それでも1930年からのゲーデルの不完全性の証拠をスケッチすることさえできなかった。
• おおよその例として、P≠NPの利用可能な証拠の一部、つまり巡回セールスマンポリトープの指数下限、および弱い鳩の巣原理による充足可能性の解決に基づく手順の難易度をキャプチャしてみましょう。。この場合の「理由」は、特定のクラスのNP完全問題を、TSPの線形計画法のような特定の自然な（NP完全問題のクラスの）原則または解像度ベースのアルゴリズムに依存して効率的に解決できないことです。 SATの証明方法。さまざまな論文が、これを使って何かを証明できるさまざまな独立した理由を示しました。たとえば、TSPの最後の論文は、「LPの半正定値プログラミングの再定式化と一方向量子通信プロトコルの密接な関係」を理由として挙げました二つの独立した理由、すなわち「鳩の巣の原理を表す式のクラスとランダムに生成された式の下限」を引用した。
  また、時間の経過とともに結果を強化する試みがあったことも確認できます。TSPの初期結果は対称線形計画法の定式化のみに関するものでしたが、最新の結果にはこのような制限はなく、TSPに加えて最大カットおよび最大安定セットの問題にも適用されます。解決の初期結果は、基本的なデービス-パトナム解決手順と人工反例の単一クラスを考慮しましたが、最新の結果は解像度ベースのメソッドの大規模なクラスをカバーし、自然発生する反例の複数のクラスを提供します。
  TSPの場合、TSP、最大カット、および最大安定セットに加えてより多くの問題に適用することを除いて、結果をさらに強化する方法がわかりません。解決のために、結果をさらに強化する方法について多くのアイデアがありますが、リンクした記事は2002年のもので、Stephen CookとPhuong Nguyen は2010年にモノグラフの論理的基盤の証明複雑性を公開しました。すでに私のアイデアの多くをカバーしていると思います。P≠NPに興味があるにもかかわらず、これらの結果が時間の経過とともにどれだけ強化されているかは、ほとんどの人にとって実際にはほとんど違いがないことに注意するのは興味深いことです。質問。その間に、カットルールに相当するものがない論理システムに依存するアルゴリズムが充足可能性の問題を効率的に解決できないことが証明されたとしても、P≠NPには本質的に進歩がないと考えられます。相変わらず広く開かれています。