なぜこのグラフはMSTヒューリスティックの2近似限界のタイトさを示しているのですか?


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これは私が与えられた宿題の問題であり、何時間も頭を掻き集めてきました(そのため、いくつかの指針に満足しています)。私はすでに、近似比がよりも悪くなることはないことを知っています。ホイールグラフがあります。各エッジのコストはで、エッジで接続されていないすべてのノード間の距離はです。ホイールグラフは次のです。212W6

MSTヒューリスティックアルゴリズムの出力であると思われるものを青色でマークしました。しかし、すべてのノードは一度しかアクセスできないため、これも最適なソリューションだと思います。したがって、ツアーの費用は最適とMSTの両方でになります。7

このタイプのグラフが、MSTヒューリスティックの近似境界がタイトであることをどのように示しているかはわかりません(必ずしもこのインスタンスではなく、一般にグラフ)。誰かが私を啓発できますか?2Wn


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2つの近似であることはすべてのグラフで最適の2の係数内にある必要があるため、「TSPへのMST近似が2近似であることを証明する」ことはできません。このグラフが行うことになっていることは、MSTが正確に2倍であるグラフを表示することにより、MSTが2近似よりも優れていないことを証明することです。ちなみに、V1からV6にかけて黒いエッジがあるはずです。
David Richerby、2015年

@DavidRicherby 2近似よりも悪くない理由を知っています。これは、境界がタイトであることを示す最悪の場合のインスタンスと考えられます。または、nが連続的に増加すると、比率が2に収束します。そして、私が理解している限り、黒い縁だけがスポークであるべきです。サークル内にノードがコスト1で接続されていても、ツアーは変わりません。
oarfish 2015年

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それを明確にするために質問を言い換えることをお勧めします。
David Richerby、2015年

このタイプのグラフがどのようにMSTヒューリスティックの2近似限界がタイトであることを示しているかはわかりません。質問を編集することをどのように提案しますか?
oarfish 2015年

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@oarfishタイトルが最大の問題です。それは人々にある種の質問を期待させる。次に、まったく適合しないものを読み、残りをスキップしてコメントします。
ラファエル

回答:


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アルゴリズムには多くの自由があります。いくつかの最小全域木と、いくつかの対応するオイラーツアーです。最悪の選択を見つけて、それが劣ったツアーを生み出すことを示してみてください。表示されているのは、アルゴリズムこの選択を行う可能性があり、そのため劣った近似を生成する可能性があることです。

この選択の考え方が気に入らない場合は、重みを少し調整することで、アルゴリズムが希望どおりの選択を行うことを保証できます。


最小限のマッチングはどこから始まりますか?私はクリストファイドについて話しているのではなく、MSTヒューリスティックについて話しているだけです。そして、紙の上で見たり試したりすることができる限り、中心となるスターであるMSTから始めてもかまいません。v0または、外側のサイクルから1つのエッジに1本のスポークを加えたものです。根本的な誤解があるかもしれませんが、それは非常に単純だと思います。
oarfish 2015年

@oarfishそうです、クリストフィデスのアルゴリズムは実際に優れています。
Yuval Filmus

気づきませんでしたが、これは正しい方向です。最悪のツアーを選択するだけです。生成されたTSPツアーに関しては、同等ではないものがたくさんあることに気づきませんでした。
oarfish 2015年

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私が投稿したグラフにはいくつかのエッジがありません。サイクル内の隣接するノードは接続されているはずです。(編集:TSPツアーでグラフを修正)。

実際のグラフはこちら

私の解決策は次のとおりです。これで、MSTヒューリスティックに対して計算されたMSTは明らかに

多くのオイラーツアー、特に次のツアーを許可します。

ここでは、サイクルノードに任意の順序でアクセスできます。これですべてのツアーが有効になるので、たとえば最悪のツアーを選択できます。v0v4v0v1v0vv0v6v0v2v0v5v0。そのツアーに基づいて、MSTヒューリスティックはこのTSPソリューションを見つけます。

すべてのエッジにコストがあるため 1 グラフで接続されていないすべてのノードには距離があります 2、ツアーの費用は 21+2 最適なツアーに費用がかかる場所 +1。限界に

リムMSTWOptW=リム2+1=2

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