なぜこのグラフはMSTヒューリスティックの2近似限界のタイトさを示しているのですか？

これは私が与えられた宿題の問題であり、何時間も頭を掻き集めてきました（そのため、いくつかの指針に満足しています）。私はすでに、近似比がよりも悪くなることはないことを知っています。ホイールグラフがあります。各エッジのコストはで、エッジで接続されていないすべてのノード間の距離はです。ホイールグラフは次のです。$2$$1$$2$$W_6$

MSTヒューリスティックアルゴリズムの出力であると思われるものを青色でマークしました。しかし、すべてのノードは一度しかアクセスできないため、これも最適なソリューションだと思います。したがって、ツアーの費用は最適とMSTの両方でになります。$7$

このタイプのグラフが、MSTヒューリスティックの近似境界がタイトであることをどのように示しているかはわかりません（必ずしもこのインスタンスではなく、一般にグラフ）。誰かが私を啓発できますか？$2$$W_n$

アルゴリズムには多くの自由があります。いくつかの最小全域木と、いくつかの対応するオイラーツアーです。最悪の選択を見つけて、それが劣ったツアーを生み出すことを示してみてください。表示されているのは、アルゴリズムがこの選択を行う可能性があり、そのため劣った近似を生成する可能性があることです。

この選択の考え方が気に入らない場合は、重みを少し調整することで、アルゴリズムが希望どおりの選択を行うことを保証できます。

私が投稿したグラフにはいくつかのエッジがありません。サイクル内の隣接するノードは接続されているはずです。（編集：TSPツアーでグラフを修正）。

実際のグラフはこちら

私の解決策は次のとおりです。これで、MSTヒューリスティックに対して計算されたMSTは明らかに

多くのオイラーツアー、特に次のツアーを許可します。

ここでは、サイクルノードに任意の順序でアクセスできます。これですべてのツアーが有効になるので、たとえば最悪のツアーを選択できます。$v_0,v_4,v_0,v_1,v_0,v_3,v_0,v_6,v_0,v_2,v_0,v_5,v_0$。そのツアーに基づいて、MSTヒューリスティックはこのTSPソリューションを見つけます。

すべてのエッジにコストがあるため $1$ グラフで接続されていないすべてのノードには距離があります $2$、ツアーの費用は $2(n-1) + 2$ 最適なツアーに費用がかかる場所 $n+1$。限界に

$\begin{equation*} \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{MST(W_n)}{Opt(W_n)} = \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{2n}{n+1} = 2 \end{equation*}$