Knuth、de Bruijn、Riceの「植えられた平面の木の平均高さ」（1972）

私はタイトルの古典的な論文を基本的な手段（生成関数、複雑な解析、フーリエ解析なし）だけで導き出そうとしていますが、精度はずっと低くなっています。要するに、私は、「のみ」を証明したいと平均高さ $h_n$ を有するツリーの $n$ のノード（すなわち、葉へのルートからノードの最大数）を満たすの $h_n \sim \sqrt{\pi n}$ 。

$A_{nh}$ $h$ $A_{nh} = A_{nn}$ $h \geqslant n$ $B_{nh}$ $n$ $h+1$ $B_{nh} = A_{nn} - A_{nh}$ $h_n = S_n/A_{nn}$ $S_n$

S_{n} = \sum_{h ⩾ 1} h (A_{n h} - A_{n, h - 1}) = \sum_{h ⩾ 1} h (B_{n, h - 1} - B_{n h}) = \sum_{h ⩾ 0} B_{n h} .

$S_n = \sum_{h \geqslant 1} h(A_{nh} - A_{n,h-1}) = \sum_{h \geqslant 1} h(B_{n,h-1} - B_{nh}) = \sum_{h \geqslant 0} B_{nh}.$

A_{n n} = \frac{1}{n} (\binom{2 n - 2}{n - 1})

$A_{nn} = \frac{1}{n}\binom{2n-2}{n-1}$ であることがよく知られています

n

$n$ ノードを持つ一般的なツリーのセットは、カタロニア語の数でカウントされる

n - 1

$n-1$ 個のノード。

したがって、最初のステップはを見つけ $B_{nh}$ 、次に漸近展開の主項を見つけること $S_n$ です。

この時点で、著者はを導出するために分析的組み合わせ（3ページ）を使用します

B_{n + 1, h - 1} = \sum_{k ⩾ 1} [(\binom{2 n}{n + 1 - k h}) - 2 (\binom{2 n}{n - k h}) + (\binom{2 n}{n - 1 - k h})] .

$B_{n+1,h-1} = \sum_{k \geqslant 1} \left[\binom{2n}{n+1-kh} - 2\binom{2n}{n-kh} + \binom{2n}{n-1-kh}\right].$

私自身の試みは次のとおりです。私は木々の間に全単射検討 $n$ 正方格子上のノードと単調な経路 $(n-1) \times (n-1)$ から $(0,0)$ への $(n-1,n-1)$ 対角線と交差しません（および2種類のステップで構成されています： $\uparrow$ および $\rightarrow$ ）。これらのパスは、Dyckパスまたはエクスカーションと呼ばれることもあります。これで、 $B_{nh}$ を格子パスで表現できます。これは、長さが2（n-1）で高さが以上のDyckパスの数です $h$ 。（注：高さツリーは $h$ 、高さ Dyckパスを持つ全単射 $h-1$ です。）

一般性を失うことなく、始まると仮定します $\uparrow$ （したがって、対角線の上に留まります）。各パスについて、もしあれば、線を横切る最初のステップを検討し $y = x + h - 1$ ます。上記のポイントから、原点に戻るまで、 $\uparrow$ を $\rightarrow$ 、またはその逆に変更します（これは、行に対する反射です）。カウントしたいパス（）は、境界を避けるからへの単調なパスと全単射であることが明らかになります及び。（図を参照してください。） $y=x+h$ $B_{nh}$ $(-h,h)$ $(n-1,n-1)$ $y=x+2h+1$ $y=x-1$

Mohantyによる古典的な本Lattice Path Counting and Applications（1979、6ページ）では、式ラティス内の単調なパスの数をから

\sum_{k \in Z} [(\binom{m + n}{m - k (t + s)}) - (\binom{m + n}{n + k (t + s) + t})],

$\sum_{k \in \mathbb{Z}} \left[\binom{m+n}{m-k(t+s)} - \binom{m+n}{n+k(t+s)+t}\right],$

(0, 0)

$(0,0)$

(m, n)

$(m,n)$ まで、境界を回避しますおよび、および。（この結果は、最初に50年代にロシアの統計学者によって確立されました。）したがって、新しい起源を考慮することにより、次の式の条件を満たす：、

y = x - t

$y = x - t$

y = x + s

$y = x + s$

t > 0

$t > 0$

s > 0

$s > 0$

(- h, h)

$(-h,h)$

s = 1

$s=1$

t = 2 h + 1

$t=2h+1$ 目的地（右上隅）は。次に、これは、これは、予想される式との違いは、すべての正の整数（）ではなく、奇数（）を合計することです。

(n + h - 1, n - h - 1)

$(n+h-1,n-h-1)$

B_{n h} = \sum_{k \in Z} [(\binom{2 n - 2}{n + h - 1 - k (2 h + 2)}) - (\binom{2 n - 2}{n - h - 1 + k (2 h + 2) + 2 h + 1})] .

$B_{nh} = \sum_{k \in \mathbb{Z}} \left[\binom{2n-2}{n+h-1-k(2h+2)} - \binom{2n-2}{n-h-1+k(2h+2) + 2h+1}\right].$

B_{n + 1, h - 1} = \sum_{k \in Z} [(\binom{2 n}{n + 1 - (2 k + 1) h}) - (\binom{2 n}{n - (2 k + 1) h})],

$B_{n+1,h-1} = \sum_{k \in \mathbb{Z}} \left[\binom{2n}{n+1-(2k+1)h} - \binom{2n}{n-(2k+1)h}\right],$

B_{n + 1, h - 1} = \sum_{k ⩾ 0} [(\binom{2 n}{n + 1 - (2 k + 1) h}) - 2 (\binom{2 n}{n - (2 k + 1) h}) + (\binom{2 n}{n - 1 - (2 k + 1) h})] .

$B_{n+1,h-1} = \sum_{k \geqslant 0} \left[\binom{2n}{n+1-(2k+1)h} - 2\binom{2n}{n-(2k+1)h} + \binom{2n}{n-1-(2k+1)h}\right].$

2 k + 1

$2k+1$

k

$k$

問題はどこにあるのでしょうか？

— キリスト教徒
ソース

あなたは基本的なものだけを使いたいと言いますが、それでも本の結果を使います。Mohantyはどのように使用するIDを導出しますか？

— ラファエル

最初の文で「基本」とは何を意味するのかを定義します。生成関数、複雑な分析、フーリエ分析はありません。彼の本の中で、Mohantyは基本的な手段を使用して、その式、より正確には、格子経路上の反射と包含-排除の原理を導き出しました。（上記の前者を使用します。）あなたが主張する場合、質問の最後に彼の証明を追加します。

— クリスチャン

まったく、自分でルールを破っていないことを確認したかっただけです。

— ラファエル

分析コンビナトリクスが明らかに初歩的であると思われるときに、「生成関数」が非初歩的手法としてリストされているのを見るのは非常に奇妙です。は、ほとんど本質的に非基本的な値のようです。あなたが探しているもののより良い感覚を与えるために、例えば、中央二項係数の漸近性の比較可能な証拠を持っていますか？私は2つは密接に関係している疑いがある...

\sqrt{π}

$\sqrt{\pi}$

— スティーブンStadnicki

単調からのパスにあなたは、境界のみを避ける構築することを彼らクロス前に $(−h,h)$ $(n−1,n−1)$ $y=x+2h+1$ 初めて。したがって、使用する式は適用されません。 $y=x+h$

— FrankW
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