Knuth、de Bruijn、Riceの「植えられた平面の木の平均高さ」(1972)


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私はタイトルの古典的な論文を基本的な手段(生成関数、複雑な解析、フーリエ解析なし)だけで導き出そうとしていますが、精度はずっと低くなっています。要するに、私は、「のみ」を証明したいと平均高さhnを有するツリーのnのノード(すなわち、葉へのルートからノードの最大数)を満たすのhnπn

AnhhAnh=AnnB N H N H + 1件のB N H = A N N - A nは、H、H 、N = S N / A N N S N S N = Σ H 1 H A N H - A N H - 1= Σ H 1時間B NhnBnhnh+1Bnh=AnnAnhhn=Sn/AnnSn

Sn=h1h(AnhAn,h1)=h1h(Bn,h1Bnh)=h0Bnh.
Ann=1n(2n2n1)である ことがよく知られていますnノードを持つ一般的なツリーのセットは、カタロニア語の数でカウントされるn1個のノード。

したがって、最初のステップはB_ {nh}を見つけBnh、次にS_nの漸近展開の主項を見つけることSnです。

この時点で、著者は B_ {n + 1、h-1} = \ sum_ {k \ geqslant 1} \ left [\ binom {2n} {n + 1-kh}-2を導出するために分析的組み合わせ(3ページ)を使用します

Bn+1,h1=k1[(2nn+1kh)2(2nnkh)+(2nn1kh)].

私自身の試みは次のとおりです。私は木々の間に全単射検討n正方格子上のノードと単調な経路(n1)×(n1)から(0,0)への(n1,n1)対角線と交差しません(および2種類のステップで構成されています:および)。これらのパスは、Dyckパスまたはエクスカーションと呼ばれることもあります。これで、Bnhを格子パスで表現できます。これは、長さが2(n-1)で高さがh以上のDyckパスの数ですh。(注:高さhのツリーはh、高さh-1の Dyckパスを持つ全単射h1です。)

一般性を失うことなく、\ uparrowで始まると仮定します(したがって、対角線の上に留まります)。各パスについて、もしあれば、y = x + h-1の線を横切る最初のステップを検討しy=x+h1ます。上記のポイントから、原点に戻るまで、、またはその逆に変更します(これは、行y = x + h に対する反射です)。カウントしたいパス(B_ {nh})は、境界y = x + 2h +を避ける(-h、h)から(n-1、n-1)への単調なパスと全単射であることが明らかになります1及びY = X-1 。(図を参照してください。)y=x+hBnh(h,h)(n1,n1)y=x+2h+1y=x1

Mohantyによる古典的な本Lattice Path Counting and Applications(1979、6ページ)では、式 ラティス内の単調なパスの数をから00MN

kZ[(m+nmk(t+s))(m+nn+k(t+s)+t)],
(0,0)(m,n)まで、境界を回避しますおよび、および。(この結果は、最初に50年代にロシアの統計学者によって確立されました。)したがって、新しい起源を考慮することにより、次の式の条件を満たす:、y=xty=x+st>0s>0(h,h)s=1t=2h+1目的地(右上隅)は。次に、 これは、 これは、 予想される式との違いは、すべての正の整数()ではなく、奇数()を合計することです。(n+h1,nh1)
Bnh=kZ[(2n2n+h1k(2h+2))(2n2nh1+k(2h+2)+2h+1)].
Bn+1,h1=kZ[(2nn+1(2k+1)h)(2nn(2k+1)h)],
Bn+1,h1=k0[(2nn+1(2k+1)h)2(2nn(2k+1)h)+(2nn1(2k+1)h)].
2k+1k

問題はどこにあるのでしょうか?


あなたは基本的なものだけを使いたいと言いますが、それでも本の結果を使います。Mohantyはどのように使用するIDを導出しますか?
ラファエル

最初の文で「基本」とは何を意味するのかを定義します。生成関数、複雑な分析、フーリエ分析はありません。彼の本の中で、Mohantyは基本的な手段を使用して、その式、より正確には、格子経路上の反射と包含-排除の原理を導き出しました。(上記の前者を使用します。)あなたが主張する場合、質問の最後に彼の証明を追加します。
クリスチャン

まったく、自分でルールを破っていないことを確認したかっただけです。
ラファエル

分析コンビナトリクスが明らかに初歩的であると思われるときに、「生成関数」が非初歩的手法としてリストされているのを見るのは非常に奇妙です。 は、ほとんど本質的に非基本的な値のようです。あなたが探しているもののより良い感覚を与えるために、例えば、中央二項係数の漸近性の比較可能な証拠を持っていますか?私は2つは密接に関係している疑いがある...π
スティーブンStadnicki

回答:


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単調からのパスN - 1 N - 1 あなたは、境界のみを避ける構築することを、Y = X + 2 H + 1を彼らクロス前にY = X +(h,h)(n1,n1)y=x+2h+1初めて。したがって、使用する式は適用されません。y=x+h

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