NP完全セットは、少なくとも1つがNPハードである場合にのみ、他の2つのセットから形成されますか？

この質問は、NP完全集合の集合演算から形成された集合に関する以前の質問とは多少逆になります。

2つの決定可能な集合との和集合、交差、またはデカルト積から得られる集合がNP完全である場合、少なくとも1つは必然的にNP困難ですか？Pがこれらの集合演算の下で閉じているため、両方をPにすることはできない（P！= NPと仮定）。「決定可能」と「NPハード」の条件が必要であることも知っています。NP 以外の任意のNPコンプリートセットと別のセット（NPハードまたは単に決定不可能か）を考慮すると、2つの新しい交差がNP完全なNPにないNPハードセット。例： $L_1$ $L_2$ $L_1, L_2$ $L$ $B$ 、及び。しかし、その後の進め方がわかりません。 $L_1:= 01L \cup 11B$ $L_2:= 01L \cup 00B$

私たちはNP完全セット取ることができますので、組合の場合は真ではないかもしれないことを考えているセット取得するためにラドナーの定理で建設を行うのサブセットであるNPI 。次いで、、元のNP-完全なセットです。ただし、がまだNPIまたはNPハードであるかどうかはわかりません。交差点とデカルト積の場合、どこから始めればよいかもわかりません。 $A$ $B \in$ $A$ $B \cup (A \setminus B) = A$ $A \setminus B$

complexity-theory np-hard np np-intermediate

— アリ
ソース

P = NPの場合、Pの問題はNP完全である可能性があり、「両方をPにすることはできない」という主張は誤りになります。

— Wojowu 2015

@Wojowuありがとう、あなたは正しいです。この質問全体がP！= NPという前提に基づいていることが理解されたと思いました。それ以外の場合は、NPC = Pとなるため、意味がありません/簡単です。質問を編集します。

— Ari

@Ari、実際

、たとえ

。

N P C \neq P

$NPC\not = P$

P = N P

$P=NP$

— トムファンデルザンデン、2015年

@TomvanderZandenそれはどうして可能ですか？

そうP = NPは、次いでNP内のすべての問題は、NPCにおける問題を含む多項式時間で解くことができる場合。

N P C \subseteq N P

$NPC \subseteq NP$

— 2015年

@Ari空のセットと、すべての文字列のセットをしている

が、彼らはありませんよ

-complete。空のセット（またはすべての文字列のセット）に何も減らすことはできません。これは、常にno（またはyes）のインスタンスだからです。

N P

$NP$

N P

$NP$

— トムファンデルザンデン、2015年

2つの非NPハード言語の共通部分はNPハードにすることができます。例：任意の3SATインスタンスのソリューションは、HORN-3SATインスタンスとANTIHORN-3SATインスタンスのソリューションの集合交差です。これは、3CNF句はホーンまたはアンチホーン句のいずれかである必要があり、3SATインスタンスはそのような句の結合であるためです。3SATはもちろんNP完全です。HORN-3SATとANTIHORN-3SATはどちらもPです。

— カイル・ジョーンズ
ソース

あなたの例に従うことはできません。HORN-SATとANTIHORN-SATの交点がPに間違いなくかなり退屈な言語である

— のYuval Filmus

HORN-3SATはさまざまな方法で定義できます。1つの方法は、HORN-3SATインスタンスのエンコードを修正することです（各文字列はそのようなインスタンスをエンコードします）。次に、HORN-3SATは、充足可能なインスタンスで構成されます。このエンコードは、ANTIHORN-3SATに使用するエンコードとは異なる可能性が高いため、交差言語が正確に何であるかは明確ではありません。SATではありません。

— Yuval Filmus

もう1つの可能性は、HORN-3SATを（i）Horn形式、（ii）満足できる3SATインスタンスの言語として定義することです。これで、HORN-3SATとANTIHORN-3SATの共通部分が意味をなすようになりました。これは、（i）ホーン形式とアンチホーン形式の両方で、（ii）満足できるすべての3SATインスタンスで構成されます。これは、HORN-3SATおよびANTIHORN-3SATのそれぞれよりも簡単です。

— Yuval Filmus

L_{1}

$L_1$

L_{2}

$L_2$

L_{1} \cap L_{2}

$L_1 \cap L_2$

3 S A T

$\mathsf{3SAT}$

H O R N 3 S A T \cap A N T I H O R N 3 S A T

$\mathsf{HORN3SAT}\cap\mathsf{ANTIHORN3SAT}$

H O R N 3 S A T \cup A N T I H O R N 3 S A T

$\mathsf{HORN3SAT}\cup\mathsf{ANTIHORN3SAT}$